Verifique quais dos 4 axiomas de produto interno são satisfeitas pelas seguintes operações sobre os vetores
e
de
:
, onde
são constantes arbitrárias.
Passo 1
O enunciado define em
a “produto interno”
onde
são constantes arbitrárias.
Queremos verificar, uma a uma, as quatro propriedades que caracterizam um produto interno real:
1. Simetria: .
2. Linearidade no primeiro argumento:
.
3. Positividade: para todo
.
4. Definitude: somente se
.
Queremos verificar, uma a uma, as quatro propriedades que caracterizam um produto interno real:
1. Simetria:
2. Linearidade no primeiro argumento:
3. Positividade:
4. Definitude:
Passo 2
Verificamos a simetria: para quaisquer
Como a multiplicação em
é comutativa, essa igualdade vale para quaisquer valores de
.
Passo 3
Agora a linearidade no primeiro argumento: dados escalares
e vetores
,
Isso mostra bilinearidade (e em particular linearidade no primeiro argumento) para todos os
.
Passo 4
Verificamos a positividade:
- Se existir algum
, basta escolher (vetor canônico) para obter
. Logo a positividade falha. - Se todas as
, então cada termo e, portanto,
.
Passo 5
Para a definitude precisamos ainda que
implique
.
- Se alguma
, então qualquer vetor que só tenha componente não nula em satisfaz
mas . Logo a definição falha. - Se todas as
, então só ocorre quando cada , ou seja, .
Resposta
– As propriedades de simetria e linearidade são satisfeitas sempre, independentemente dos valores de
.
– A positividade ( ) exige
para todo
.
– A definitude ( ) exige
para todo
.
– A positividade (
– A definitude (