Verifique quais dos 4 axiomas de produto interno são satisfeitas pelas seguintes operações sobre os vetores boldsymbolu=(u1, ldots, un) e boldsymbolv=(v1, ldots, vn) de R^n :
lang<=u, vrang<==sumi=1^n alphai ui vi, onde alphai são constantes arbitrárias.

Passo 1

O enunciado define em R^n a “produto interno”
lang<=u,vrang<= ;=;sumi=1^nalphai,ui,vi,
onde alpha1,dots,alphan são constantes arbitrárias.
Queremos verificar, uma a uma, as quatro propriedades que caracterizam um produto interno real:
1. Simetria: lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<=.
2. Linearidade no primeiro argumento:
lang<= lambda u + mu w,,vrang<= = lambdalang<= u,vrang<= + mulang<= w,vrang<=.
3. Positividade: lang<= u,urang<= >= 0 para todo u.
4. Definitude: lang<= u,urang<= = 0 somente se u=0.

Passo 2

Verificamos a simetria: para quaisquer u,v
lang<=u,vrang<= =sumi=1^nalphai,ui,vi =sumi=1^nalphai,vi,ui =lang<=v,urang<=
Como a multiplicação em R é comutativa, essa igualdade vale para quaisquer valores de alphai.

Passo 3

Agora a linearidade no primeiro argumento: dados escalares lambda,mu e vetores u,w,v,
lang<= lambdau+muw,,vrang<= =sumi=1^nalphai,(lambda ui+mu wi),vi =lambdasumi=1^nalphai,ui,vi +musumi=1^nalphai,wi,vi =lambdalang<= u,vrang<= +mulang<= w,vrang<=
Isso mostra bilinearidade (e em particular linearidade no primeiro argumento) para todos os alphai.

Passo 4

Verificamos a positividade:
lang<=u,urang<= =sumi=1^nalphai,ui^2
  • Se existir algum alphaj<0, basta escolher u=ej (vetor canônico) para obter
    lang<= ej,ejrang<==alphaj<0. Logo a positividade falha.
  • Se todas as alphai>=0, então cada termo alphai,ui^2>=0 e, portanto,
    lang<= u,urang<=>=0.

Passo 5

Para a definitude precisamos ainda que
lang<=u,urang<==0 implique u=0.
  • Se alguma alphak=0, então qualquer vetor que só tenha componente não nula em k satisfaz
    lang<= u,urang<==0 mas uneq0. Logo a definição falha.
  • Se todas as alphai>0, então sumialphai ui^2=0 só ocorre quando cada ui=0, ou seja, u=0.

Resposta

– As propriedades de simetria e linearidade são satisfeitas sempre, independentemente dos valores de alphai.
– A positividade ( lang<= u,urang<=>=0) exige alphai>=0 para todo i.
– A definitude ( lang<= u,urang<==0iff u=0) exige alphai>0 para todo i.

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