Verifique se
B=\left[\begin{array}{cc} 2 & 5 \\\\ 4 & 10 \end{array}\right]
é inversível (use operações elementares para mostrar que a matriz é equivalente a matriz identidade).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
B = \begin{pmatrix}2 & 5 \\[6pt] 4 & 10\end{pmatrix}
é invertível, usando operações elementares de linha para tentar reduzi-la à matriz identidade \,I_2. Se não for possível obter I_2, então B não é invertível.]

Passo 2

Primeiro, aplicamos a operação elementar
R_{1}\;\leftarrow\;\tfrac12\,R_{1}
para criar um pivô unitário na posição (1,1). Assim,
\begin{pmatrix} 2 & 5\\[3pt] 4 & 10 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_{1}\leftarrow\frac12R_{1}}\; \begin{pmatrix} 1 & \tfrac52\\[3pt] 4 & 10 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Em seguida, anulamos o elemento abaixo do pivô usando
R_{2}\;\leftarrow\;R_{2} - 4\,R_{1}.
Isso dá
\begin{pmatrix} 1 & \tfrac52\\[3pt] 4 & 10 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_{2}\leftarrow R_{2}-4R_{1}}\; \begin{pmatrix} 1 & \tfrac52\\[3pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Como a segunda linha ficou totalmente nula, não há como transformá-la em (0\;\,1). Logo, não é possível reduzir B à identidade I_2, o posto de B é menor que 2 e, portanto, B não é invertível.

Resposta

A matriz B não é inversível.

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