Verifique se as bases E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) são concordantes ou discordantes.
f1=e1+e2+e3, f2=e1-e2+e3, f3=e1+e2-e3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as bases E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3) e
F=(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3) têm a mesma orientação (concordantes) ou não (discordantes).
Para isso, basta montar a matriz de mudança de base de E para F e calcular o seu determinante: se det>0, as bases são concordantes; se det<0, são discordantes.

Passo 2

Expressamos cada vetor de F em coordenadas de E. Como
overrightarrow f1=overrightarrow e1+overrightarrow e2+overrightarrow e3, overrightarrow f2=overrightarrow e1-overrightarrow e2+overrightarrow e3, overrightarrow f3=overrightarrow e1+overrightarrow e2-overrightarrow e3,
a matriz de mudança de base P (com colunas dadas pelas coordenadas de overrightarrow fi em E) é
P = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1

Passo 3

Calculamos o determinante de P por expansão da primeira linha:
det(P) =1det-1 & 11 & -1 -1det1 & 11 & -1 +1det1 & -11 & 1

Passo 4

Cada mineore vale
det-1 & 11 & -1=(-1)(-1)-1cdot1=0,
det1 & 11 & -1=1cdot(-1)-1cdot1=-2,
det1 & -11 & 1=1cdot1-(-1)cdot1=2
Substituindo,
det(P)=1cdot0 - 1cdot(-2) + 1cdot2 = 0 + 2 + 2 = 4

Passo 5

Como det(P)=4>0, a mudança de base preserva a orientação. Portanto, as bases E e F são concordantes.

Resposta

As bases são concordantes.

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