Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada.
sumn=1^+infty(-1)^n-1 (x-2)^nraiz3 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma série de potências e precisamos descobrir qual o intervalo de valores de $ x $ para os quais essa série converge, além de determinar o raio de convergência.
Conteúdo da matéria envolvido:
  • Séries de potências
  • Teste da razão (ou teste da raiz)
Vamos precisar aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência e, a partir daí, determinar o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que temos:
sumn=1^+infty (-1)^n-1 (x-2)^nraiz3n
Aqui, a série é centrada em $ x = 2 $ e pode ser escrita na forma geral de uma série de potências:
x = 2
onde $ c = 2 $ e $ a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{3n}} $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência $ R $. O Teste da Razão nos diz que:
R
Primeiro, precisamos calcular $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
R = limn to infty | anan+1 |
Mas como vamos usar o valor absoluto, o sinal negativo não importa:
an+1an

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n
Então, o raio de convergência é:
limn to infty raiz nn+1 = limn to infty raiz 11 + 1n = raiz1 = 1

Passo 5

Com o raio de convergência $ R = 1 $, sabemos que a série converge para valores de $ x $ dentro do intervalo:
R = 1
Substituindo $ c = 2 $ e $ R = 1 $:
x
Agora, precisamos verificar se a série converge ou diverge nos extremos desse intervalo, ou seja, em $ x = 1 $ e $ x = 3 $.

Passo 6

Verificando em $ x = 1 $:
Substituímos $ x = 1 $ na série:
x = 1
Essa é uma série p com $ p = \frac{1}{2} $, que sabemos não converge porque $ p \leq 1 $.
Verificando em $ x = 3 $:
Substituímos $ x = 3 $ na série:
x = 1
Essa é uma série alternada onde os termos $ \frac{1}{\sqrt{3n}} $ tendem a zero e são decrescentes. Pelo Teste da Série Alternada, a série converge.

Resposta

O raio de convergência é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é $ 1 < x \leq 3 $.

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