Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma série de potências e precisamos descobrir qual o intervalo de valores de $ x $ para os quais essa série converge, além de determinar o raio de convergência.
Conteúdo da matéria envolvido:
- Séries de potências
- Teste da razão (ou teste da raiz)
Vamos precisar aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência e, a partir daí, determinar o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série que temos:
Aqui, a série é centrada em $ x = 2 $ e pode ser escrita na forma geral de uma série de potências:
onde $ c = 2 $ e $ a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{3n}} $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência $ R $. O Teste da Razão nos diz que:
Primeiro, precisamos calcular $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Mas como vamos usar o valor absoluto, o sinal negativo não importa:
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Então, o raio de convergência é:
Passo 5
Com o raio de convergência $ R = 1 $, sabemos que a série converge para valores de $ x $ dentro do intervalo:
Substituindo $ c = 2 $ e $ R = 1 $:
Agora, precisamos verificar se a série converge ou diverge nos extremos desse intervalo, ou seja, em $ x = 1 $ e $ x = 3 $.
Passo 6
Verificando em $ x = 1 $:
Substituímos $ x = 1 $ na série:
Essa é uma série p com $ p = \frac{1}{2} $, que sabemos não converge porque $ p \leq 1 $.
Verificando em $ x = 3 $:
Substituímos $ x = 3 $ na série:
Essa é uma série alternada onde os termos $ \frac{1}{\sqrt{3n}} $ tendem a zero e são decrescentes. Pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
Resposta
O raio de convergência é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é $ 1 < x \leq 3 $.