Encontre a transformação linear T: M_{2 \times 2} \rightarrow P_{2} tal que
\begin{aligned} & T\left(\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right]\right)=2, T\left(\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right]\right)=2 x+x^{2}, T\left(\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]\right)=-x \\\ & T\left(\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right)=5 x^{2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear \,T: M_{2\times2}\to P_{2}
cuja ação está dada nos quatro elementos da base canônica de M_{2\times2}:
E_{11} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{12} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{21} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{22} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Sabemos então
T(E_{11})=2,\; T(E_{12})=2x+x^2,\; T(E_{21})=-x,\; T(E_{22})=5x^2.
Para encontrar T em matriz genérica \bigl[\begin{smallmatrix}a&b\c&d\end{smallmatrix}\bigr], basta usar linearidade.

Passo 2

Qualquer matriz A\in M_{2\times2} pode ser escrita como combinação linear da base:
A = \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} = a\,E_{11} + b\,E_{12} + c\,E_{21} + d\,E_{22}.

Passo 3

Pela linearidade de T:
T(A) = a\,T(E_{11}) + b\,T(E_{12}) + c\,T(E_{21}) + d\,T(E_{22}).

Passo 4

Substituindo os valores conhecidos:
T(A) = a\cdot 2 \;+\; b\cdot(2x+x^2)\;+\;c\cdot(-x)\;+\;d\cdot(5x^2).
Agora agrupamos termos segundo as potências de x:
  • Coeficiente de x^0: 2a.
  • Coeficiente de x^1: 2b - c.
  • Coeficiente de x^2: b + 5d.

Resposta

Para \displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix},
temos
T(A)=2a \;+\;(2b - c)\,x \;+\;(b + 5d)\,x^2.

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