Verifique se cada uma das aplicações a seguir são transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow P_{2} dada por T(a, b)=(a+b)+b x+a x^{2}

Passo 1

O enunciado define
T\colon \mathbb{R}^2 \to P_2
por
T(a,b) = (a+b) + b\,x + a\,x^2.
Para mostrar que T é linear, vamos verificar as duas propriedades fundamentais:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(c\,u)=c\,T(u).

Passo 2

Vamos reescrever T(a,b) como combinação linear de dois polinômios fixos. Note que
(a+b)+b\,x+a\,x^2 = a\,(1+x^2) + b\,(1+x).
Logo existe
p_1(x)=1+x^2, \quad p_2(x)=1+x
tais que
T(a,b)=a\,p_1(x)+b\,p_2(x).
Essa forma já indica que T age linearmente sobre a e b.

Passo 3

Verificação da aditividade. Sejam (a_1,b_1) e (a_2,b_2) em \mathbb{R}^2. Então
T\bigl((a_1,b_1)+(a_2,b_2)\bigr) = T(a_1+a_2,\;b_1+b_2)
= \bigl((a_1+a_2)+(b_1+b_2)\bigr) + (b_1+b_2)x + (a_1+a_2)x^2
= \bigl((a_1+b_1)+(a_2+b_2)\bigr) + (b_1x+b_2x) + (a_1x^2+a_2x^2)
= \bigl((a_1+b_1)+b_1x+a_1x^2\bigr) + \bigl((a_2+b_2)+b_2x+a_2x^2\bigr)
= T(a_1,b_1) + T(a_2,b_2).

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R}. Então
T\bigl(c\,(a,b)\bigr) = T(ca,\;cb) = \bigl(ca+cb\bigr) + (cb)x + (ca)x^2
= c\,(a+b) + c\,b\,x + c\,a\,x^2 = c\bigl((a+b)+b\,x+a\,x^2\bigr) = c\,T(a,b).

Resposta

A aplicação T satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é uma transformação linear.

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