Calcule o núcleo e a imagem das seguintes transformações e verifique se são injetora, sobrejetora ou bijetora.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow P_{2}, T(a, b, c)=(a+b+c)+(a+2 b+c) x+(a+2 c) x^{2}

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to P_{2}, \quad T(a,b,c) = (a+b+c) + (a+2b+c)\,x + (a+2c)\,x^{2}.
Queremos encontrar o núcleo \ker(T), a imagem \operatorname{Im}(T) e, a partir daí, decidir se T é injetora, sobrejetora ou bijetora. Usaremos resolução de sistemas lineares para o núcleo e o Teorema da Dimensão (post o+nulidade) para a imagem.

Passo 2

Para achar \ker(T)\), impomos \(T(a,b,c)=0\), ou seja, a cada coeficiente do polinômio deve ser zero. Assim obtemos o sistema \[\begin{cases} a + b + c = 0,\\\ a + 2b + c = 0,\\\ a + 2c = 0. \end{cases}
Da terceira equação segue a=-2c\]. Substituindo em \(a+b+c=0 -2c+b+c=0\Rightarrow b=c. Na segunda equação fica -2c+2c+c=0\Rightarrow c=0. Logo c=0, b=0, a=0.
Portanto
\ker(T) = \{(0,0,0)\},
e \dim(\ker(T))=0. Como o núcleo é trivial, T é injetora.

Passo 3

A imagem de T é o subespaço de P_{2} gerado pelos vetores-coluna dos coeficientes (a+b+c,\;a+2b+c,\;a+2c). Montamos a matriz de passagem
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix},
cuja coluna j é o vetor de coeficientes de T(e_j). Calculamos
\det(M) =1\cdot(2\cdot2-1\cdot0)\;-\;1\cdot(1\cdot2-1\cdot1)\;+\;1\cdot(1\cdot0-2\cdot1) =4-1-2=1\neq0.
Como \det(M)\neq0, as colunas são linearmente independentes e \operatorname{rank}(M)=3. Logo
\dim(\operatorname{Im}(T))=3.
Mas \dim(P_{2})=3, então \operatorname{Im}(T)=P_{2} e T é sobrejetora.

Resposta

\ker(T)=\{(0,0,0)\}, \operatorname{Im}(T)=P_{2}, T é injetora e sobrejetora (portanto bijetora).

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