Calcule o núcleo e a imagem das seguintes transformações e verifique se são injetora, sobrejetora ou bijetora. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow P_{2}, T(a, b, c)=(a+b+c)+(a+2 b+c) x+(a+2 c) x^{2}
Queremos encontrar o núcleo \ker(T), a imagem \operatorname{Im}(T) e, a partir daí, decidir se T é injetora, sobrejetora ou bijetora. Usaremos resolução de sistemas lineares para o núcleo e o Teorema da Dimensão (posto+nulidade) para a imagem.
Passo 2
Para achar \ker(T)\), impomos \(T(a,b,c)=0\), ou seja, a cada coeficiente do polinômio deve ser zero. Assim obtemos o sistema
\[\begin{cases} a + b + c = 0,\\\ a + 2b + c = 0,\\\ a + 2c = 0. \end{cases}
Da terceira equação segue a=-2c\]. Substituindo em \(a+b+c=0 dá -2c+b+c=0\Rightarrow b=c. Na segunda equação fica -2c+2c+c=0\Rightarrow c=0. Logo c=0, b=0, a=0.
Portanto
\ker(T) = \{(0,0,0)\},
e \dim(\ker(T))=0. Como o núcleo é trivial, T é injetora.
Passo 3
A imagem de T é o subespaço de P_{2} gerado pelos vetores-coluna dos coeficientes (a+b+c,\;a+2b+c,\;a+2c). Montamos a matriz de passagem