Determine conjuntos de geradores para os seguintes subespaços:
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 3 x-5 y+2 z=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para
W = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid 3x - 5y + 2z = 0\}.
Note que W é um plano que passa pela origem (subespaço de dimensão 2). Para encontrar geradores, basta parametrizar esse plano em função de dois parâmetros livres.

Passo 2

Da equação que define W, isolamos x:
3x - 5y + 2z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{5y - 2z}{3}.

Passo 3

Escolhendo parâmetros s = y e t = z, qualquer vetor (x,y,z)\in W pode ser escrito como
(x,y,z) = \Bigl(\frac{5s - 2t}{3},\,s,\,t\Bigr) = s\Bigl(\tfrac{5}{3},1,0\Bigr) + t\Bigl(-\tfrac{2}{3},0,1\Bigr).

Passo 4

Para evitar frações nos vetores geradores, basta multiplicar ambos por 3. Assim obtemos dois vetores independentes em W:
(5,3,0) \quad\text{e}\quad (-2,0,3).

Resposta

Um conjunto de geradores para W é
\{(5,3,0),\,(-2,0,3)\}.

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