Verifique, em cada caso, se o conjunto
é uma base de
. Caso não seja, justifique.
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
e
formam uma base de .
O conteúdo envolve dimensão de espaço de polinômios e independência linear.
e
formam uma base de
O conteúdo envolve dimensão de espaço de polinômios e independência linear.
Passo 2
Sabemos que
porque a base canônica é
.
O conjunto tem três vetores, então basta mostrar que eles são linearmente independentes para concluir que formam base.
O conjunto
Passo 3
Suponha uma combinação linear nula:
Expandindo,
Para o polinômio ser identicamente zero, os coeficientes devem satisfazer
Da primeira e segunda igualdades temos
e
. Substituindo em
vem
, ou seja
.
Logo, a única combinação linear que dá zero é a trivial, o que prova a independência linear de .
Logo, a única combinação linear que dá zero é a trivial, o que prova a independência linear de
Passo 4
Temos
e
é linearmente independente. Portanto
é uma base de
.