Verifique, em cada caso, se o conjunto é uma base de . Caso não seja, justifique.
e

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = P2(R)
e
S = ,t^2-1,;t+2,;5
formam uma base de V.
O conteúdo envolve dimensão de espaço de polinômios e independência linear.

Passo 2

Sabemos que
diml(P2(R)r)=3
porque a base canônica é 1,,t,,t^2.
O conjunto S tem três vetores, então basta mostrar que eles são linearmente independentes para concluir que formam base.

Passo 3

Suponha uma combinação linear nula:
a,(t^2-1);+;b,(t+2);+;ccdot5 ;=;0(polinômio nulo) ô
Expandindo,
a,t^2 ;+; b,t ;+;(-a + 2b + 5c);=;0
Para o polinômio ser identicamente zero, os coeficientes devem satisfazer
a = 0, b = 0, -a + 2b + 5c = 0
Da primeira e segunda igualdades temos a=0 e b=0. Substituindo em -a + 2b + 5c = 0 vem 5c=0, ou seja c=0.
Logo, a única combinação linear que dá zero é a trivial, o que prova a independência linear de S.

Passo 4

Temos lvert Srvert = 3 = dim(V) e S é linearmente independente. Portanto S é uma base de V.

Resposta

S é uma base de P2(R).

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