Verifique, em cada caso, se o conjunto é uma base de . Caso não seja, justifique.
e

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V=R^2
e
S=(1,-1),,(-2,2)
formam uma base de V.
Lembrando que um subconjunto S de um espaço vetorial V é base se e somente se:
  1. os vetores de S são linearmente independentes;
  2. eles geram todo V (span (S)=V).

Passo 2

Vamos testar a independência linear, isto é, ver se a única solução de
é
Repare que a segunda equação é simplesmente a primeira multiplicada por , já é uma solução não trivial. Portanto é linearmente dependente.

Passo 3

Como os vetores são dependentes, eles estão todos na mesma reta em R^2. De fato
(-2,2)=-2,(1,-1),
então
span(S)=t,(1,-1)mid tinR
é uma reta de dimensão 1, e não todo R^2.

Passo 4

Concluímos que S falha em ser base de R^2 porque não é linearmente independente (e também não gera todo R^2).

Resposta

S não é base de V pois seus vetores são linearmente dependentes (um é múltiplo escalar do outro), logo não geram todo R^2.

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