1. Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaco vetorial do esnaen vetorial V
(a) V=\mathbb{R}^{3}, W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; z \geq 0\right\}

Passo 1

O enunciado dá:
  • V=\mathbb{R}^{3}.
  • W=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z\ge 0\right\}.
O que se pede:
  • Verificar se W é um subespaço vetorial de V.

Passo 2

Critérios que vou usar (explicação didática): para um subconjunto W de um espaço vetorial V ser subespaço, deve satisfazer três propriedades essenciais:
  1. Contém o vetor zero de V. Aqui o vetor zero é (0,0,0).
  2. Fechado sob soma: para quaisquer u,v\in W, o vetor u+v também deve pertencer a W.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R} e qualquer u\in W, o vetor \alpha u deve pertencer a W.
Por que essas propriedades? Porque um subespaço tem de ser ele próprio um espaço vetorial com as mesmas operações; essas três garantem que somas e multiplicações escalares internas não saem do conjunto e que o zero está presente.

Passo 3

Verificar presença do vetor zero:
  • O vetor zero é (0,0,0).
  • Para ele, a coordenada z vale 0, e 0\ge 0 é verdadeiro.
  • Logo (0,0,0)\in W. Portanto o primeiro critério é satisfeito.

Passo 4

Verificar fechamento por soma (mostrando passo a passo):
  • Tome u=(x_1,y_1,z_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2)\in W. Pelas hipóteses, z_1\ge 0 e z_2\ge 0.
  • A soma é u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
  • Como soma de números não-negativos é não-negativa, temos z_1+z_2\ge 0.
  • Portanto u+v\in W. Assim W é fechado sob soma.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar (procurando falha com contraexemplo):
  • Para que W seja subespaço, para todo \alpha\in\mathbb{R} e todo u\in W deve valer \alpha u\in W.
  • Considere o vetor u=(0,0,1). Observação: peguei u por ser um vetor simples com z=1\ge 0, logo u\in W.
  • Escolha o escalar \alpha=-1.
  • Então \alpha u = -1\cdot(0,0,1) = (0,0,-1).
  • Aqui a coordenada z vale -1, e -1\ge 0 é falso. Logo (0,0,-1)\notin W.
  • Encontramos um \alpha e um u\in W tais que \alpha u\notin W. Portanto W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão lógica e intuição (breve e didática):
  • Como falha o fechamento por escalares, W não satisfaz todas as condições para ser subespaço.
  • Intuição: um subespaço precisa ser simétrico em relação à origem (se v está no subespaço, então -v também deve estar). O conjunto W é a meia-esfera superior (meio-espaço com z\ge0) e não é simétrico — ele não contém o oposto de vetores com z>0.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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