- Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaco vetorial do esnaen vetorial
(a)
Passo 1
O enunciado dá:
-
. -
.
O que se pede:
- Verificar se
é um subespaço vetorial de .
Passo 2
Critérios que vou usar (explicação didática): para um subconjunto
de um espaço vetorial
ser subespaço, deve satisfazer três propriedades essenciais:
- Contém o vetor zero de
. Aqui o vetor zero é . - Fechado sob soma: para quaisquer
, o vetor também deve pertencer a . - Fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer escalar
e qualquer , o vetor deve pertencer a .
Por que essas propriedades? Porque um subespaço tem de ser ele próprio um espaço vetorial com as mesmas operações; essas três garantem que somas e multiplicações escalares internas não saem do conjunto e que o zero está presente.
Passo 3
Verificar presença do vetor zero:
- O vetor zero é
. - Para ele, a coordenada
vale , e é verdadeiro. - Logo
. Portanto o primeiro critério é satisfeito.
Passo 4
Verificar fechamento por soma (mostrando passo a passo):
- Tome
e . Pelas hipóteses, e . - A soma é
. - Como soma de números não-negativos é não-negativa, temos
. - Portanto
. Assim é fechado sob soma.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar (procurando falha com contraexemplo):
- Para que
seja subespaço, para todo e todo deve valer . - Considere o vetor
. Observação: peguei por ser um vetor simples com , logo . - Escolha o escalar
. - Então
. - Aqui a coordenada
vale , e é falso. Logo . - Encontramos um
e um tais que . Portanto não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão lógica e intuição (breve e didática):
- Como falha o fechamento por escalares,
não satisfaz todas as condições para ser subespaço. - Intuição: um subespaço precisa ser simétrico em relação à origem (se
está no subespaço, então também deve estar). O conjunto é a meia-esfera superior (meio-espaço com ) e não é simétrico — ele não contém o oposto de vetores com .