- Seja
um espaço vetorial. Mostre que:
(a) O vetor nulo é único.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
e pede para mostrar que o vetor nulo é único.
Informações relevantes que o enunciado fornece (ou que valem para qualquer espaço vetorial
):
- Existe um elemento em
chamado vetor nulo (ou elemento neutro aditivo). Vou chamar um desse elementos de . - A propriedade que define esse elemento é: para todo
,
- O que precisamos provar: se existir outro elemento
que também satisfaça
então
deve ser igual a
. Ou seja, provar a unicidade do vetor nulo.
Passo 2
Estratégia do raciocínio (apenas a ideia, sem calcular ainda): assumir que existem dois elementos que satisfazem a propriedade de identidade aditiva e usar essa propriedade para comparar os dois elementos. A comparação será feita aplicando a definição com escolhas apropriadas de
.
Passo 3
Começando o argumento rigoroso. Suponha que
e
sejam ambos elementos que satisfazem a propriedade de identidade aditiva:
Aplicando a segunda igualdade com
(isto é, escolhemos
igual ao primeiro zero), obtemos:
Isto é válido porque a propriedade vale para todo
, então vale em particular para
.
Passo 4
Agora aplicamos a primeira igualdade com
(escolhemos
igual ao segundo zero); obtemos:
Novamente, é válido porque a propriedade vale para todo
, inclusive
.
Passo 5
Das igualdades obtidas nos Passos 3 e 4 temos duas expressões para o mesmo soma
, logo
Portanto os dois elementos são iguais. Isso mostra que não podem existir dois vetores nulos distintos em
.
Passo 6
Interpretação e exemplo para fixar: o que fizemos foi usar a definição de “elemento neutro aditivo” duas vezes, trocando o papel de
e
. Como cada um não altera nenhum vetor quando somado, somando-os um ao outro obtemos simultaneamente
e
, forçando-os a ser o mesmo elemento. Em
, por exemplo, o vetor nulo é
— não existe outro vetor que funcione como identidade aditiva.
Um recado rápido de incentivo: essa prova é curtinha mas importante — é um bom exemplo de como usar diretamente uma definição para obter unicidade. Vai dar certo na prova!
Resposta
O vetor nulo é único.