1. Seja V um espaço vetorial. Mostre que:
(a) O vetor nulo é único.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V e pede para mostrar que o vetor nulo é único.
Informações relevantes que o enunciado fornece (ou que valem para qualquer espaço vetorial V):
  • Existe um elemento em V chamado vetor nulo (ou elemento neutro aditivo). Vou chamar um desse elementos de \mathbf{0}.
  • A propriedade que define esse elemento é: para todo v\in V,
v + \mathbf{0} = v.
  • O que precisamos provar: se existir outro elemento \mathbf{0}'\in V que também satisfaça
v + \mathbf{0}' = v\quad\text{para todo }v\in V,
então \mathbf{0}' deve ser igual a \mathbf{0}. Ou seja, provar a unicidade do vetor nulo.

Passo 2

Estratégia do raciocínio (apenas a ideia, sem calcular ainda): assumir que existem dois elementos que satisfazem a propriedade de identidade aditiva e usar essa propriedade para comparar os dois elementos. A comparação será feita aplicando a definição com escolhas apropriadas de v.

Passo 3

Começando o argumento rigoroso. Suponha que \mathbf{0}\in V e \mathbf{0}'\in V sejam ambos elementos que satisfazem a propriedade de identidade aditiva:
\text{para todo }v\in V,\quad v+\mathbf{0}=v\quad\text{e}\quad v+\mathbf{0}'=v.
Aplicando a segunda igualdade com v=\mathbf{0} (isto é, escolhemos v igual ao primeiro zero), obtemos:
\mathbf{0}+\mathbf{0}'=\mathbf{0}.
Isto é válido porque a propriedade vale para todo v, então vale em particular para v=\mathbf{0}.

Passo 4

Agora aplicamos a primeira igualdade com v=\mathbf{0}' (escolhemos v igual ao segundo zero); obtemos:
\mathbf{0}+\mathbf{0}'=\mathbf{0}'.
Novamente, é válido porque a propriedade vale para todo v, inclusive v=\mathbf{0}'.

Passo 5

Das igualdades obtidas nos Passos 3 e 4 temos duas expressões para o mesmo soma \mathbf{0}+\mathbf{0}', logo
\mathbf{0}=\mathbf{0}+\mathbf{0}'=\mathbf{0}'.
Portanto os dois elementos são iguais. Isso mostra que não podem existir dois vetores nulos distintos em V.

Passo 6

Interpretação e exemplo para fixar: o que fizemos foi usar a definição de “elemento neutro aditivo” duas vezes, trocando o papel de \mathbf{0} e \mathbf{0}'. Como cada um não altera nenhum vetor quando somado, somando-os um ao outro obtemos simultaneamente \mathbf{0} e \mathbf{0}', forçando-os a ser o mesmo elemento. Em \mathbb{R}^n, por exemplo, o vetor nulo é (0,0,\dots,0) — não existe outro vetor que funcione como identidade aditiva.
Um recado rápido de incentivo: essa prova é curtinha mas importante — é um bom exemplo de como usar diretamente uma definição para obter unicidade. Vai dar certo na prova!

Resposta

O vetor nulo é único.

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