1. Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaco vetorial do esnaen vetorial V
(f) V=\mathbb{R}^{4}, W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; x=y=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá:
  • V=\mathbb{R}^{4}.
  • W=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\;|\;x=y=0\}.
O que se pede:
  • Verificar se W é um subespaço vetorial de V.

Passo 2

Lembrete (definição útil que vamos aplicar): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se e somente se as três propriedades abaixo valem:
  1. W não é vazio (equivalente a: contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalares: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W.
Vou verificar cada uma destas propriedades para o conjunto dado.

Passo 3

Verificar que W não é vazio (contém o vetor zero).
  • O vetor zero em \mathbb{R}^{4} é (0,0,0,0).
  • Observe que (0,0,0,0) satisfaz as condições x=y=0, portanto (0,0,0,0)\in W.
    Logo W não é vazio.

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
  • Tome dois vetores arbitrários em W. Pelo formato de W, escrevemos u=(0,0,z_{1},w_{1}),\qquad v=(0,0,z_{2},w_{2}),com z_{1},w_{1},z_{2},w_{2}\in\mathbb{R}.
  • Calcule a soma: u+v=(0+0,\;0+0,\;z_{1}+z_{2},\;w_{1}+w_{2})=(0,0,z_{1}+z_{2},w_{1}+w_{2}).
  • Nas duas primeiras coordenadas da soma aparecem 0 e 0, logo u+v também satisfaz x=y=0, portanto u+v\in W.
    Concluímos que W é fechado sob soma.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
  • Tome um vetor arbitrário u\in W escrito como u=(0,0,z,w) com z,w\in\mathbb{R}, e tome \alpha\in\mathbb{R}.
  • Calcule \alpha u: \alpha u=(\alpha\cdot 0,\;\alpha\cdot 0,\;\alpha z,\;\alpha w)=(0,0,\alpha z,\alpha w).
  • As duas primeiras coordenadas permanecem 0, então \alpha u satisfaz x=y=0 e, portanto, \alpha u\in W.
    Concluímos que W é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 6

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalares, pelas propriedades verificadas acima W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.
Complemento didático (útil para a prova): descrição como espaço gerado, base e dimensão.
  • Qualquer (0,0,z,w)\in W pode ser escrito como combinação linear (0,0,z,w)=z\,(0,0,1,0)+w\,(0,0,0,1).
  • Portanto W=\mathrm{span}\{(0,0,1,0),\,(0,0,0,1)\}.
  • Os vetores (0,0,1,0) e (0,0,0,1) são linearmente independentes, logo formam uma base de W.
  • Assim \dim W=2.

Passo 7

Resumo prático para a prova: para conjuntos definidos impondo coordenadas iguais a zero, o caminho padrão é mostrar que o vetor zero pertence, depois mostrar fechamento por soma e por escalares com vetores genéricos. Aqui isso é direto porque só restam duas coordenadas livres ( z e w).

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.\n W=\mathrm{span}\{(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}.\nBase: \{(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}. Dimensão: 2.

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