- Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaco vetorial do esnaen vetorial
(f)
Passo 1
O enunciado dá:
-
. -
.
O que se pede:
- Verificar se
é um subespaço vetorial de .
Passo 2
Lembrete (definição útil que vamos aplicar): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se e somente se as três propriedades abaixo valem:
-
não é vazio (equivalente a: contém o vetor zero). -
é fechado sob soma: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e então .
Vou verificar cada uma destas propriedades para o conjunto dado.
Passo 3
Verificar que
não é vazio (contém o vetor zero).
- O vetor zero em
é . - Observe que
satisfaz as condições , portanto .
Logonão é vazio.
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
- Tome dois vetores arbitrários em
. Pelo formato de , escrevemos com . - Calcule a soma:
- Nas duas primeiras coordenadas da soma aparecem
e , logo também satisfaz , portanto .
Concluímos queé fechado sob soma.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
- Tome um vetor arbitrário
escrito como com , e tome . - Calcule
: - As duas primeiras coordenadas permanecem
, então satisfaz e, portanto, .
Concluímos queé fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalares, pelas propriedades verificadas acima
é um subespaço vetorial de
.
Complemento didático (útil para a prova): descrição como espaço gerado, base e dimensão.
- Qualquer
pode ser escrito como combinação linear - Portanto
- Os vetores
e são linearmente independentes, logo formam uma base de . - Assim
.
Passo 7
Resumo prático para a prova: para conjuntos definidos impondo coordenadas iguais a zero, o caminho padrão é mostrar que o vetor zero pertence, depois mostrar fechamento por soma e por escalares com vetores genéricos. Aqui isso é direto porque só restam duas coordenadas livres (
e
).
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
.\n
.\nBase:
. Dimensão:
.