- Verifique se são espaços vetoriais os seguintes conjuntos:
(c)
com adição
e a multiplicação por escalár usual.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Espaço considerado: o conjunto
(pares de números reais). - Definição da adição: para quaisquer
,
- A multiplicação por escalar é a usual: para
e ,
O que se pede: verificar se, com essa adição e essa multiplicação por escalar,
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Lembrete rápido (definição prática): o que é necessário para
ser um espaço vetorial.
Para ser espaço vetorial sobre
é preciso, entre outras coisas, que:
- A operação de adição
torne um grupo abeliano (ou seja: fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos aditivos, e comutatividade). - As leis de compatibilidade entre escalar e adição sejam satisfeitas, por exemplo:
-
para todos e . -
para todos e . -
, e outras propriedades usuais (essas duas últimas vêm da definição da multiplicação escalar).
-
Bastará encontrar pelo menos um axioma que falhe para concluir que não é espaço vetorial.
Passo 3
Verificação de propriedades fáceis: fechamento, elemento neutro e inversos.
-
Fechamento em
: dado , o par pertence a . Logo há fechamento. -
Elemento neutro aditivo
: procure tal que, para todo ,
Isto significa
portanto
e
, logo
e
. Assim o candidato neutro é
. De fato,
Então o neutro é
.
- Inverso aditivo: dado
, procurar tal que . Isso dá
Portanto o inverso aditivo de
existe e é
.
Até aqui: fechamento, neutro e inversos existem. Falta, porém, a associatividade e a comutatividade da adição (e as compatibilidades com escalares).
Passo 4
Teste da comutatividade da adição (ver se
é comutativa).
Calcule
e
:
Essas duas expressões não são, em geral, iguais (os coeficientes de
trocam). Um contraexemplo numérico basta para ver a diferença. Tome
e
. Então
Como
, a adição não é comutativa. Logo a operação
não torna
um grupo abeliano — já falhamos num dos axiomas necessários.
Passo 5
Teste da associatividade da adição (mostrando algebraicamente a falha).
Se
fosse associativa, deveríamos ter, para quaisquer
,
Calcule cada lado:
- Primeiro,
então
- Por outro lado,
então
Comparando, os coeficientes de
(e de
) são
no primeiro resultado e
no segundo. Em geral esses vetores são diferentes, então a associatividade falha.
Um exemplo numérico rápido: escolha
,
,
. Então
que são diferentes. Assim a adição não é associativa.
Passo 6
Verificação de uma lei de compatibilidade escalar que também falha (opcional, para reforçar).
Considere a propriedade
. Tome
e calcule ambos os lados.
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Esses só coincidem para todos
se
, ou seja
. Logo essa lei falha em geral. Um contraexemplo simples: com
e
,
enquanto
diferença evidente.
Passo 7
Conclusão final e interpretação.
Já que a adição
não é comutativa e nem associativa (e além disso a compatibilidade
falha), falha um axioma essencial para que
seja um espaço vetorial. Basta uma falha para concluir que não é espaço vetorial.
Portanto a estrutura dada NÃO é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Não, não é um espaço vetorial.