1. Verifique se são espaços vetoriais os seguintes conjuntos:
(c) \mathrm{O} \mathbb{R}^{2} com adição \left(x_{1}, y_{1}\right) \oplus\left(x_{2}, \hat{y}_{2}\right)=\left(x_{1}+2 x_{2}, y_{1}+2 y_{2}\right) e a multiplicação por escalár usual.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Espaço considerado: o conjunto \mathbb{R}^2 (pares (x,y) de números reais).
  • Definição da adição: para quaisquer (x_1,y_1), (x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2,
(x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2) = (x_1 + 2x_2,\; y_1 + 2y_2).
  • A multiplicação por escalar é a usual: para \alpha\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^2,
\alpha\cdot(x,y) = (\alpha x,\; \alpha y).
O que se pede: verificar se, com essa adição e essa multiplicação por escalar, \mathbb{R}^2 é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Lembrete rápido (definição prática): o que é necessário para \mathbb{R}^2 ser um espaço vetorial.
Para ser espaço vetorial sobre \mathbb{R} é preciso, entre outras coisas, que:
  • A operação de adição \oplus torne \mathbb{R}^2 um grupo abeliano (ou seja: fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos aditivos, e comutatividade).
  • As leis de compatibilidade entre escalar e adição sejam satisfeitas, por exemplo:
    1. \alpha(u\oplus v) = \alpha u \oplus \alpha v para todos \alpha\in\mathbb{R} e u,v\in\mathbb{R}^2.
    2. (\alpha+\beta)u = \alpha u \oplus \beta u para todos \alpha,\beta\in\mathbb{R} e u\in\mathbb{R}^2.
    3. (\alpha\beta)u = \alpha(\beta u), e outras propriedades usuais (essas duas últimas vêm da definição da multiplicação escalar).
Bastará encontrar pelo menos um axioma que falhe para concluir que não é espaço vetorial.

Passo 3

Verificação de propriedades fáceis: fechamento, elemento neutro e inversos.
  • Fechamento em \oplus: dado (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2, o par (x_1+2x_2,\;y_1+2y_2) pertence a \mathbb{R}^2. Logo há fechamento.
  • Elemento neutro aditivo 0': procure (a,b) tal que, para todo (x,y),
(x,y)\oplus(a,b)=(x,y).
Isto significa
(x+2a,\;y+2b)=(x,y)\quad\text{para todo \(x,y\),}
portanto 2a=0 e 2b=0, logo a=0 e b=0. Assim o candidato neutro é (0,0). De fato,
(x,y)\oplus(0,0)=(x+2\cdot0,\;y+2\cdot0)=(x,y).
Então o neutro é (0,0).
  • Inverso aditivo: dado (x,y), procurar w=(u,v) tal que (x,y)\oplus(u,v)=(0,0). Isso dá
(x+2u,\;y+2v)=(0,0)\Rightarrow u=-\frac{x}{2},\;v=-\frac{y}{2}.
Portanto o inverso aditivo de (x,y) existe e é \left(-\dfrac{x}{2},-\dfrac{y}{2}\right).
Até aqui: fechamento, neutro e inversos existem. Falta, porém, a associatividade e a comutatividade da adição (e as compatibilidades com escalares).

Passo 4

Teste da comutatividade da adição (ver se \oplus é comutativa).
Calcule (x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2) e (x_2,y_2)\oplus(x_1,y_1):
(x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2) = (x_1 + 2x_2,\; y_1 + 2y_2),
(x_2,y_2)\oplus(x_1,y_1) = (x_2 + 2x_1,\; y_2 + 2y_1).
Essas duas expressões não são, em geral, iguais (os coeficientes de x_1,x_2 trocam). Um contraexemplo numérico basta para ver a diferença. Tome (x_1,y_1)=(1,0) e (x_2,y_2)=(0,1). Então
(1,0)\oplus(0,1) = (1+2\cdot0,\;0+2\cdot1) = (1,2),
(0,1)\oplus(1,0) = (0+2\cdot1,\;1+2\cdot0) = (2,1).
Como (1,2)\neq(2,1), a adição não é comutativa. Logo a operação \oplus não torna \mathbb{R}^2 um grupo abeliano — já falhamos num dos axiomas necessários.

Passo 5

Teste da associatividade da adição (mostrando algebraicamente a falha).
Se \oplus fosse associativa, deveríamos ter, para quaisquer u=(x_1,y_1),v=(x_2,y_2),w=(x_3,y_3),
(u\oplus v)\oplus w = u\oplus (v\oplus w).
Calcule cada lado:
  • Primeiro,
u\oplus v = (x_1+2x_2,\; y_1+2y_2),
então
(u\oplus v)\oplus w = \big((x_1+2x_2) + 2x_3,\; (y_1+2y_2) + 2y_3\big) = (x_1 + 2x_2 + 2x_3,\; y_1 + 2y_2 + 2y_3).
  • Por outro lado,
v\oplus w = (x_2+2x_3,\; y_2+2y_3),
então
u\oplus (v\oplus w) = \big(x_1 + 2(x_2+2x_3),\; y_1 + 2(y_2+2y_3)\big) = (x_1 + 2x_2 + 4x_3,\; y_1 + 2y_2 + 4y_3).
Comparando, os coeficientes de x_3 (e de y_3) são 2 no primeiro resultado e 4 no segundo. Em geral esses vetores são diferentes, então a associatividade falha.
Um exemplo numérico rápido: escolha u=(1,0), v=(0,1), w=(0,1). Então
(u\oplus v)\oplus w = (1,4), \qquad u\oplus(v\oplus w) = (1,6),
que são diferentes. Assim a adição não é associativa.

Passo 6

Verificação de uma lei de compatibilidade escalar que também falha (opcional, para reforçar).
Considere a propriedade (\alpha+\beta)u = \alpha u \oplus \beta u. Tome u=(x,y) e calcule ambos os lados.
  • Lado esquerdo:
(\alpha+\beta)u = \big((\alpha+\beta)x,\;(\alpha+\beta)y\big).
  • Lado direito:
\alpha u \oplus \beta u = (\alpha x + 2\beta x,\;\alpha y + 2\beta y) = \big((\alpha + 2\beta)x,\;(\alpha + 2\beta)y\big).
Esses só coincidem para todos u se \alpha+\beta = \alpha + 2\beta, ou seja \beta=0. Logo essa lei falha em geral. Um contraexemplo simples: com \alpha=\beta=1 e u=(1,0),
(\alpha+\beta)u = 2\cdot(1,0)=(2,0),
enquanto
\alpha u \oplus \beta u = (1,0)\oplus(1,0) = (1+2\cdot1,\;0+2\cdot0)=(3,0),
diferença evidente.

Passo 7

Conclusão final e interpretação.
Já que a adição \oplus não é comutativa e nem associativa (e além disso a compatibilidade (\alpha+\beta)u=\alpha u\oplus\beta u falha), falha um axioma essencial para que \mathbb{R}^2 seja um espaço vetorial. Basta uma falha para concluir que não é espaço vetorial.
Portanto a estrutura dada NÃO é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

Não, não é um espaço vetorial.

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