- Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaco vetorial do esnaen vetorial
(h)
Nos itens (i), (j) e (k),
é uma matriz
fixada.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para verificar se
é subespaço de
:
- Espaço vetorial
: o conjunto de todas as funções . - Subconjunto
: as funções de que são identicamente nulas no intervalo .
Pergunta:
é um subespaço vetorial de
? (Responda justificando.)
Passo 2
Critério prático para testar se um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço: basta verificar três propriedades (essa é a forma que costuma cair em prova):
-
não é vazio e contém o vetor zero de . Aqui o vetor zero é a função zero, que chamaremos de e que satisfaz para todo . - Fechamento sob adição: se
e , então . - Fechamento sob multiplicação por escalar: se
e (o corpo dos escalares), então .
Explicando cada item devagar:
- O item 1 garante que
contém o elemento neutro aditivo; sem isso não pode ser subespaço. - O item 2 garante que somas de elementos de
permanecem em . - O item 3 garante que qualquer escala de um elemento de
permanece em .
Se os três valem,herda todas as propriedades de espaço vetorial de (pois as outras propriedades são restrições das que já valem em ).
Passo 3
Verificar que
contém a função zero.
Defina a função
por
Para todo
temos
, portanto
. Assim
não é vazio e contém o vetor zero.
Passo 4
Verificar fechamento sob adição.
Sejam
e
. Pela definição de
, para todo
vale
e
. Então, para todo
,
Logo
também é zero em todo
, isto é,
. Concluímos que
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja
e
. Para todo
tem-se
, portanto
Logo
é zero em todo
, isto é,
. Assim
é fechado por multiplicação por escalares.
Passo 6
Conclusão direta.
Como
contém o vetor zero de
, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalares, pelas condições do Passo 2 concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Observações didáticas e dica de prova (útil na hora da prova):
- Maneira rápida que costuma agradar avaliadores: perceber que e núcleos de aplicações lineares são sempre subespaços. Essa ideia economiza passos quando a prova permite um raciocínio um pouco mais conciso.
- Exemplo concreto para fixar a ideia: a função
pertence a ) mas não é a função zero em todo . Mostra que tem muitos elementos além do zero. - Na prova, o roteiro curto que funciona é: (1) mostre
, (2) mostre que , (3) mostre . Se fizer isso claramente, está feito.]