1. Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaco vetorial do esnaen vetorial V
(h) V=\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), W=\{f \in V ; f(x)=0, \forall x \in[0,1]\}
Nos itens (i), (j) e (k), A é uma matriz n \times n fixada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para verificar se W é subespaço de V:
  • Espaço vetorial V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}): o conjunto de todas as funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.
  • Subconjunto W=\{\,f\in V \mid f(x)=0,\\ \forall x\in[0,1]\,\}: as funções de V que são identicamente nulas no intervalo [0,1].
Pergunta: W é um subespaço vetorial de V? (Responda justificando.)

Passo 2

Critério prático para testar se um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço: basta verificar três propriedades (essa é a forma que costuma cair em prova):
  1. W não é vazio e contém o vetor zero de V. Aqui o vetor zero é a função zero, que chamaremos de 0_V e que satisfaz 0_V(x)=0 para todo x\in\mathbb{R}.
  2. Fechamento sob adição: se f\in W e g\in W, então f+g\in W.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: se f\in W e \alpha\in\mathbb{R} (o corpo dos escalares), então \alpha f\in W.
Explicando cada item devagar:
  • O item 1 garante que W contém o elemento neutro aditivo; sem isso não pode ser subespaço.
  • O item 2 garante que somas de elementos de W permanecem em W.
  • O item 3 garante que qualquer escala de um elemento de W permanece em W.
    Se os três valem, W herda todas as propriedades de espaço vetorial de V (pois as outras propriedades são restrições das que já valem em V).

Passo 3

Verificar que W contém a função zero.
Defina a função 0_V:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
0_V(x)=0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Para todo x\in[0,1] temos 0_V(x)=0, portanto 0_V\in W. Assim W não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 4

Verificar fechamento sob adição.
Sejam f\in W e g\in W. Pela definição de W, para todo x\in[0,1] vale f(x)=0 e g(x)=0. Então, para todo x\in[0,1],
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=0+0=0.
Logo f+g também é zero em todo [0,1], isto é, f+g\in W. Concluímos que W é fechado sob adição.

Passo 5

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja \alpha\in\mathbb{R} e f\in W. Para todo x\in[0,1] tem-se f(x)=0, portanto
(\alpha f)(x)=\alpha\cdot f(x)=\alpha\cdot 0 = 0.
Logo \alpha f é zero em todo [0,1], isto é, \alpha f\in W. Assim W é fechado por multiplicação por escalares.

Passo 6

Conclusão direta.
Como W contém o vetor zero de V, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalares, pelas condições do Passo 2 concluímos que W é um subespaço vetorial de V.

Passo 7

Observações didáticas e dica de prova (útil na hora da prova):
  • Maneira rápida que costuma agradar avaliadores: perceber que W\) é o núcleo (kernel) do operador linear "restrição a \([0,1]\)". Defina \(R:V\to \mathcal{F}([0,1],\mathbb{R})\) por \(R(f)=f|_{[0,1]}\). Então \[W=\ker(R)=\{f\in V \mid R(f)=0\},e núcleos de aplicações lineares são sempre subespaços. Essa ideia economiza passos quando a prova permite um raciocínio um pouco mais conciso.
  • Exemplo concreto para fixar a ideia: a função f(x)=\begin{cases} 0, & x\in[0,1],\\[4pt] x-1, & x>1,\\[4pt] x, & x<0, \end{cases}pertence a W\] (é zero em \([0,1]) mas não é a função zero em todo \mathbb{R}. Mostra que W tem muitos elementos além do zero.
  • Na prova, o roteiro curto que funciona é: (1) mostre 0_V\in W, (2) mostre que f,g\in W\Rightarrow f+g\in W, (3) mostre \alpha f\in W. Se fizer isso claramente, está feito.]

Resposta

W é um subespaço vetorial de V.

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