Verifique, em cada caso, se o conjunto é um subespaço vetorial de : .
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial ambient e como , o conjunto de todas as matrizes , e o subconjunto
Queremos verificar se é subespaço vetorial de . Para isso, basta checar que não é vazio, que é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que não é vazio mostrando que a matriz zero
é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal são zero). Como 0in W, concluímos que Wneqemptyset.
Passo 3
Mostramos fechamento sob adição. Sejam A e B duas matrizes em W. Então, para todo par de índices i>j, tem-se
aij=0 e bij=0
Logo, no somatório (A+B)ij=aij+bij=0+0=0 para i>j. Isso significa que A+B também tem todos os elementos abaixo da diagonal iguais a zero, ou seja, A+Bin W.
Passo 4
Mostramos fechamento sob multiplicação escalar. Seja Ain W e lambda um escalar qualquer. Para i>j temos aij=0, então
(lambda A)ij = lambda,aij = lambdacdot 0 = 0
Isso mostra que lambda A permanece com zeros abaixo da diagonal, logo lambda Ain W.
Resposta
O conjunto W das matrizes triangulares superiores é subespaço vetorial de M3times3.