Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de M3 times 3 :
W=A ; A é matriz triangular superior é.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial ambient e como M3times3, o conjunto de todas as matrizes 3times3, e o subconjunto
W = A in M3times3 mid A é triangular superior é
Queremos verificar se W é subespaço vetorial de M3times3. Para isso, basta checar que W não é vazio, que é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que W não é vazio mostrando que a matriz zero
0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal são zero). Como 0in W, concluímos que Wneqemptyset.

Passo 3

Mostramos fechamento sob adição. Sejam A e B duas matrizes em W. Então, para todo par de índices i>j, tem-se
aij=0 e bij=0
Logo, no somatório (A+B)ij=aij+bij=0+0=0 para i>j. Isso significa que A+B também tem todos os elementos abaixo da diagonal iguais a zero, ou seja, A+Bin W.

Passo 4

Mostramos fechamento sob multiplicação escalar. Seja Ain W e lambda um escalar qualquer. Para i>j temos aij=0, então
(lambda A)ij = lambda,aij = lambdacdot 0 = 0
Isso mostra que lambda A permanece com zeros abaixo da diagonal, logo lambda Ain W.

Resposta

O conjunto W das matrizes triangulares superiores é subespaço vetorial de M3times3.

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