Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R^2 :
W=(x, y) ; x <= 0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x,y)inR^2 mid x <= 0
é um subespaço vetorial de R^2. Para isso, usamos o critério de subespaço: um subconjunto não vazio W é subespaço se, e somente se, satisfaz
(i) 0in W,
(ii) para todo u,vin W, tem u+vin W,
(iii) para todo escalar cinR e todo vin W, tem c,vin W.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero 0=(0,0) está em W. Como 0<= 0, temos 0in W. Logo a condição (i) vale.

Passo 3

Vamos checar a fechadura em soma. Tomemos
u=(x1,y1) e v=(x2,y2) em W, ou seja, x1<=0 e x2<=0. Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2)
e, como x1+x2 <= 0+0 = 0, segue que u+vin W. Portanto (ii) também vale.

Passo 4

Agora a multiplicação escalar. Seja cinR e v=(x,y)in W com x<=0. Então
c,v = (c,x,;c,y)
Se c>=0, então c,x<=0 e c,vin W. Mas se c<0, então c,x >= 0, e em geral c,x>0 se x<0. Por exemplo, tomando v=(-1,0) e c=-1 temos
c,v = (1,0)notin W
pois 1not<=0. Logo não há fechadura na multiplicação por escalares: (iii) falha.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^2.

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