Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, usamos o critério de subespaço: um subconjunto não vazio
é subespaço se, e somente se, satisfaz
(i) ,
(ii) para todo , tem
,
(iii) para todo escalar e todo
, tem
.
(i)
(ii) para todo
(iii) para todo escalar
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
está em
. Como
, temos
. Logo a condição (i) vale.
Passo 3
Vamos checar a fechadura em soma. Tomemos
e
em
, ou seja,
e
. Então
e, como
, segue que
. Portanto (ii) também vale.
Passo 4
Agora a multiplicação escalar. Seja
e
com
. Então
Se
, então
e
. Mas se
, então
, e em geral
se
. Por exemplo, tomando
e
temos
pois
. Logo não há fechadura na multiplicação por escalares: (iii) falha.