Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições para que um conjunto seja considerado assim.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de
é um subespaço vetorial se satisfizer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
pertence a . - Fechado para adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado para multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
:
Substituindo na equação
:
Sim, o vetor zero pertence a
.
Passo 4
2. Verificar se é fechado para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
em
. Então, para cada um deles, temos:
Queremos ver se
também pertence a
. Ou seja, precisamos verificar se:
Vamos calcular:
Substituindo na expressão:
Sabemos que
e
, então:
Para que
esteja em
, precisaríamos que
. Isso só acontece se pelo menos um dos
for zero, mas não é garantido para todos os vetores em
. Portanto,
não é fechado para adição.
Passo 5
3. Verificar se é fechado para multiplicação por escalar:
Embora já tenhamos concluído que
não é um subespaço por não ser fechado para adição, vamos verificar a última condição para completar.
Pegamos um vetor
em
e um escalar
. Queremos ver se
está em
. Ou seja:
Para que isso seja igual a zero:
Sabemos que
, então
, o que é verdadeiro. Portanto,
é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
não é fechado para adição, ele não é um subespaço vetorial de
.