Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R^2 :
W=(x, y) ; x^2-y=0;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para verificar se o conjunto W = (x, y) ;|; x^2 - y = 0 é um subespaço vetorial de R^2 . Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições para que um conjunto seja considerado assim.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto W de R^2 é um subespaço vetorial se satisfizer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0) pertence a W .
  2. Fechado para adição: Se u e v estão em W , então u + v também está em W .
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se u está em W e c é um escalar, então c cdot u também está em W .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto W = (x, y) ;|; x^2 - y = 0 .

Passo 3

1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero em R^2 é (0, 0) . Vamos ver se ele pertence a W :
Substituindo na equação x^2 - y = 0 :
0^2 - 0 = 0
0 - 0 = 0
0 = 0
Sim, o vetor zero pertence a W .

Passo 4

2. Verificar se é fechado para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer u = (x1, y1) e v = (x2, y2) em W . Então, para cada um deles, temos:
x1^2 - y1 = 0 e x2^2 - y2 = 0
Queremos ver se u + v = (x1 + x2, y1 + y2) também pertence a W . Ou seja, precisamos verificar se:
(x1 + x2)^2 - (y1 + y2) = 0
Vamos calcular:
(x1 + x2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2
Substituindo na expressão:
(x1^2 + 2x1x2 + x2^2) - (y1 + y2) = (x1^2 - y1) + (x2^2 - y2) + 2x1x2
Sabemos que x1^2 - y1 = 0 e x2^2 - y2 = 0 , então:
0 + 0 + 2x1x2 = 2x1x2
Para que u + v esteja em W , precisaríamos que 2x1x2 = 0 . Isso só acontece se pelo menos um dos xi for zero, mas não é garantido para todos os vetores em W . Portanto, W não é fechado para adição.

Passo 5

3. Verificar se é fechado para multiplicação por escalar:
Embora já tenhamos concluído que W não é um subespaço por não ser fechado para adição, vamos verificar a última condição para completar.
Pegamos um vetor u = (x, y) em W e um escalar c . Queremos ver se c cdot u = (c x, c y) está em W . Ou seja:
(c x)^2 - c y = c^2 x^2 - c y
Para que isso seja igual a zero:
c^2 x^2 - c y = 0 Rightarrow c(c x^2 - y) = 0
Sabemos que x^2 - y = 0 , então c cdot 0 = 0 , o que é verdadeiro. Portanto, W é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto W não é fechado para adição, ele não é um subespaço vetorial de R^2 .

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