Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de
:
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se é um subespaço vetorial de
.
Para isso, vamos usar o teste de subespaço que exige:
.
.
. Fechamento sob multiplicação escalar.
. Fechamento sob soma de vetores.
e pede para verificar se
Para isso, vamos usar o teste de subespaço que exige:
Passo 2
Verificamos se o vetor zero está em
.
O vetor zero em é
e satisfaz
O vetor zero em
logo
. Portanto
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob multiplicação escalar.
Se , então
. Para qualquer escalar
, o vetor
satisfaz
Se
de modo que
.
Passo 4
Testamos o fechamento sob soma. Sejam
isto é,
e
. Para o vetor soma
, temos
pois
e
.
Em geral pode ser diferente de zero. Por exemplo, tome
Em geral
Ambos estão em
, mas
logo
. Assim,
não é fechado sob soma.