Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R^3 :
W=(x, y, z) ; x y=0.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)inR^3 mid x,y = 0
e pede para verificar se W é um subespaço vetorial de R^3.
Para isso, vamos usar o teste de subespaço que exige:
1. Wneqemptyset.
2. Fechamento sob multiplicação escalar.
3. Fechamento sob soma de vetores.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em W.
O vetor zero em R^3 é (0,0,0) e satisfaz
0 cdot 0 = 0,
logo (0,0,0)in W. Portanto Wneqemptyset.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob multiplicação escalar.
Se (x,y,z)in W, então x,y=0. Para qualquer escalar alpha, o vetor alpha(x,y,z)=(alpha x,alpha y,alpha z) satisfaz
(alpha x),(alpha y) = alpha^2,(x,y) = alpha^2 cdot 0 = 0,
de modo que alpha(x,y,z)in W.

Passo 4

Testamos o fechamento sob soma. Sejam
u=(x1,y1,z1)in W, v=(x2,y2,z2)in W,
isto é, x1y1=0 e x2y2=0. Para o vetor soma u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2), temos
(x1+x2)(y1+y2) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 = x1y2 + x2y1,
pois x1y1=0 e x2y2=0.
Em geral x1y2+x2y1 pode ser diferente de zero. Por exemplo, tome
u=(1,0,0), v=(0,1,0)
Ambos estão em W, mas
u+v=(1,1,0) e 1cdot1 = 1 neq 0,
logo u+vnotin W. Assim, W não é fechado sob soma.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^3.

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