Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
com as operações usuais e
е
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
-
Espaço vetorial:
com operações usuais (adição componente a componente e multiplicação por escalar). -
Devemos verificar, para cada conjunto abaixo, se ele é subespaço vetorial de
: -
. -
. -
. -
. -
.
-
-
Pergunta clara: para cada
, decidir se é um subespaço vetorial de .
Passo 2
Lembrete (a “regra” que vamos usar) — o que significa ser subespaço vetorial:
-
Um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se, as três propriedades seguintes valem: -
pertence a . (não pode faltar o vetor zero) - Fechamento por soma: se
e , então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e , então .
-
-
Observação prática: para mostrar que algo não é subespaço basta encontrar um contraexemplo que viole qualquer uma das três propriedades. Para mostrar que é subespaço, é preciso provar as três propriedades (ou usar um argumento equivalente, por exemplo mostrar que é o núcleo de uma aplicação linear ou o span de vetores).
Passo 3
Verificação de
.
- Teste do vetor zero:
tem primeira coordenada e , portanto . Boa. - Teste de multiplicação escalar (procurar contraexemplo): pegue
. Então porque . - Multiplique por
. Obtemos . - A primeira coordenada de
é , e é falso. Logo .
- Multiplique por
- Conclusão:
falha na propriedade de fechamento por multiplicação escalar, portanto não é subespaço vetorial.
Passo 4
Verificação de
.
- Teste do vetor zero:
satisfaz , logo . - Fechamento por soma: seja
e . Então Somando as igualdades obtemos isto é, também satisfaz a condição, logo . - Fechamento por multiplicação escalar: seja
e com . Então logo . - Alternativa explicativa (intuição útil em provas):
é o núcleo (kernel) da aplicação linear dada por . Como núcleo de aplicação linear, é subespaço. - Também dá para escrever vetores de
de forma paramétrica: se e são livres então e mostrando que . - Conclusão:
é subespaço vetorial de .
Passo 5
Verificação de
.
- Descrição: qualquer vetor em
tem a forma . Podemos fatorar : - Teste do vetor zero: tomando
obtemos . - Fechamento por soma: se
e com , então que permanece do mesmo formato, logo . - Fechamento por multiplicação escalar: para
, - Intuição:
é exatamente a reta (subespaço de dimensão ) gerada por , isto é . - Conclusão:
é subespaço vetorial.
Passo 6
Verificação de
(primeira coordenada irracional).
- Teste do vetor zero:
tem primeira coordenada , e . Portanto . - Como o vetor zero não pertence a
, isso já basta para concluir que não é subespaço vetorial. - Contraexemplo adicional (para intuição): escolha
(pois ). Multiplicando por obtemos , mostrando que não há fechamento por multiplicação escalar. - Conclusão:
não é subespaço vetorial.
Passo 7
Verificação de
.
- Teste do vetor zero:
tem , logo . Isso não garante subespaço, é só necessário. - Teste de multiplicação escalar (procurar contraexemplo): escolha
. Verifique , então . - Multiplique por
. Obtemos . - Agora a primeira coordenada é
e a terceira é . A desigualdade é falsa (pois ). Assim .
- Multiplique por
- Portanto
falha na propriedade de fechamento por multiplicação escalar. - Observação: desigualdades do tipo
não são preservadas em geral por multiplicação por escalares negativos, por isso esses conjuntos raramente são subespaços (a menos que a desigualdade fosse uma igualdade linear). - Conclusão:
não é subespaço vetorial.