Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
V=\mathbb{R}^{3} com as operações usuais e
\mathcal{S}_{1}=\{(x, y, z) \mid x \geq 0\} ; \quad \mathcal{S}_{2}=\{(x, y, z) \mid x+y+z=0\} ;
\mathcal{S}_{3}=\{(x, y, z) \mid x=y е z=2 x\} ; \quad \mathcal{S}_{4}=\{(x, y, z) \mid x \notin \mathbb{Q}\} ;
\mathcal{S}_{5}=\{(x, y, z) \mid x \leq z\}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Espaço vetorial: V=\mathbb{R}^{3} com operações usuais (adição componente a componente e multiplicação por escalar).
  • Devemos verificar, para cada conjunto abaixo, se ele é subespaço vetorial de V:
    • \mathcal{S}_{1}=\{(x,y,z)\mid x\ge 0\}.
    • \mathcal{S}_{2}=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}.
    • \mathcal{S}_{3}=\{(x,y,z)\mid x=y\\ \text{e}\\ z=2x\}.
    • \mathcal{S}_{4}=\{(x,y,z)\mid x\notin\mathbb{Q}\}.
    • \mathcal{S}_{5}=\{(x,y,z)\mid x\le z\}.
  • Pergunta clara: para cada \mathcal{S}_i, decidir se \mathcal{S}_i é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Lembrete (a “regra” que vamos usar) — o que significa ser subespaço vetorial:
  • Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço vetorial se, e somente se, as três propriedades seguintes valem:
    1. \mathbf{0}=(0,0,0) pertence a W. (não pode faltar o vetor zero)
    2. Fechamento por soma: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
    3. Fechamento por multiplicação escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha u\in W.
  • Observação prática: para mostrar que algo não é subespaço basta encontrar um contraexemplo que viole qualquer uma das três propriedades. Para mostrar que é subespaço, é preciso provar as três propriedades (ou usar um argumento equivalente, por exemplo mostrar que é o núcleo de uma aplicação linear ou o span de vetores).

Passo 3

Verificação de \mathcal{S}_{1}=\{(x,y,z)\mid x\ge 0\}.
  • Teste do vetor zero: \mathbf{0}=(0,0,0) tem primeira coordenada 0 e 0\ge 0, portanto \mathbf{0}\in\mathcal{S}_{1}. Boa.
  • Teste de multiplicação escalar (procurar contraexemplo): pegue v=(1,0,0). Então v\in\mathcal{S}_{1} porque 1\ge 0.
    • Multiplique por \alpha=-1. Obtemos \alpha v = -1\cdot(1,0,0)=(-1,0,0).
    • A primeira coordenada de \alpha v é -1, e -1\ge 0 é falso. Logo \alpha v\notin\mathcal{S}_{1}.
  • Conclusão: \mathcal{S}_{1} falha na propriedade de fechamento por multiplicação escalar, portanto não é subespaço vetorial.

Passo 4

Verificação de \mathcal{S}_{2}=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}.
  • Teste do vetor zero: \mathbf{0}=(0,0,0) satisfaz 0+0+0=0, logo \mathbf{0}\in\mathcal{S}_{2}.
  • Fechamento por soma: seja u=(x_1,y_1,z_1)\in\mathcal{S}_{2} e v=(x_2,y_2,z_2)\in\mathcal{S}_{2}. Então x_1+y_1+z_1=0,\qquad x_2+y_2+z_2=0.Somando as igualdades obtemos (x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=0,isto é, u+v também satisfaz a condição, logo u+v\in\mathcal{S}_{2}.
  • Fechamento por multiplicação escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z)\in\mathcal{S}_{2} com x+y+z=0. Então \alpha x+\alpha y+\alpha z=\alpha(x+y+z)=\alpha\cdot 0=0,logo \alpha u\in\mathcal{S}_{2}.
  • Alternativa explicativa (intuição útil em provas): \mathcal{S}_2 é o núcleo (kernel) da aplicação linear f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} dada por f(x,y,z)=x+y+z. Como núcleo de aplicação linear, \mathcal{S}_2 é subespaço.
  • Também dá para escrever vetores de \mathcal{S}_2 de forma paramétrica: se x e y são livres então z=-x-y e (x,y,z)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1),mostrando que \mathcal{S}_2=\operatorname{span}\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}.
  • Conclusão: \mathcal{S}_{2} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Passo 5

Verificação de \mathcal{S}_{3}=\{(x,y,z)\mid x=y\\ \text{e}\\ z=2x\}.
  • Descrição: qualquer vetor em \mathcal{S}_3 tem a forma (x,x,2x). Podemos fatorar x: (x,x,2x)=x(1,1,2).
  • Teste do vetor zero: tomando x=0 obtemos \mathbf{0}=0\cdot(1,1,2)\in\mathcal{S}_3.
  • Fechamento por soma: se u=x(1,1,2) e v=y(1,1,2) com x,y\in\mathbb{R}, então u+v=(x+y)(1,1,2),que permanece do mesmo formato, logo u+v\in\mathcal{S}_3.
  • Fechamento por multiplicação escalar: para \alpha\in\mathbb{R}, \alpha u = \alpha x(1,1,2) = (\alpha x)(1,1,2)\in\mathcal{S}_3.
  • Intuição: \mathcal{S}_3 é exatamente a reta (subespaço de dimensão 1) gerada por (1,1,2), isto é \mathcal{S}_3=\operatorname{span}\{(1,1,2)\}.
  • Conclusão: \mathcal{S}_{3} é subespaço vetorial.

Passo 6

Verificação de \mathcal{S}_{4}=\{(x,y,z)\mid x\notin\mathbb{Q}\} (primeira coordenada irracional).
  • Teste do vetor zero: \mathbf{0}=(0,0,0) tem primeira coordenada 0, e 0\in\mathbb{Q}. Portanto \mathbf{0}\notin\mathcal{S}_{4}.
  • Como o vetor zero não pertence a \mathcal{S}_4, isso já basta para concluir que \mathcal{S}_4 não é subespaço vetorial.
  • Contraexemplo adicional (para intuição): escolha v=(\sqrt{2},0,0)\in\mathcal{S}_4 (pois \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}). Multiplicando por \alpha=0 obtemos 0\cdot v=\mathbf{0}\notin\mathcal{S}_4, mostrando que não há fechamento por multiplicação escalar.
  • Conclusão: \mathcal{S}_{4} não é subespaço vetorial.

Passo 7

Verificação de \mathcal{S}_{5}=\{(x,y,z)\mid x\le z\}.
  • Teste do vetor zero: \mathbf{0}=(0,0,0) tem 0\le 0, logo \mathbf{0}\in\mathcal{S}_{5}. Isso não garante subespaço, é só necessário.
  • Teste de multiplicação escalar (procurar contraexemplo): escolha v=(1,0,2). Verifique 1\le 2, então v\in\mathcal{S}_5.
    • Multiplique por \alpha=-1. Obtemos \alpha v = (-1,0,-2).
    • Agora a primeira coordenada é -1 e a terceira é -2. A desigualdade -1\le -2 é falsa (pois -1>-2). Assim \alpha v\notin\mathcal{S}_5.
  • Portanto \mathcal{S}_5 falha na propriedade de fechamento por multiplicação escalar.
  • Observação: desigualdades do tipo x\le z não são preservadas em geral por multiplicação por escalares negativos, por isso esses conjuntos raramente são subespaços (a menos que a desigualdade fosse uma igualdade linear).
  • Conclusão: \mathcal{S}_{5} não é subespaço vetorial.

Resposta

\mathcal{S}_{1} não é subespaço vetorial.
\mathcal{S}_{2} é subespaço vetorial.
\mathcal{S}_{3} é subespaço vetorial.
\mathcal{S}_{4} não é subespaço vetorial.
\mathcal{S}_{5} não é subespaço vetorial.

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