Considere v_{1}, v_{2}, v_{3} e v vetores em \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})(\mathbb{R}) dados por
v_{1}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right], \quad v_{2}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right], \quad v_{3}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right], \quad v=\left[\begin{array}{cc} k & 0 \\\\ 1 & -k \end{array}\right]
Determine todos os valores de k \in \mathbb{R} para os quais existem x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \mathbb{R} tais que v=x_{1} v_{1}+x_{2} v_{2}+x_{3} v_{3}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores (matrizes) em \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}):
v_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\quad v_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix},\quad v_{3}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
e a matriz parâtrica
v=\begin{pmatrix}k & 0\\[4pt]1 & -k\end{pmatrix},
onde k\in\mathbb{R}. A pergunta é: determinar todos os valores de k para os quais existem x_{1},x_{2},x_{3}\in\mathbb{R} tais que
v = x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+x_{3}v_{3}.]

Passo 2

O que significa escrever v como combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3}? Significa que existem escalares x_{1},x_{2},x_{3} tais que, somando as matrizes ponderadas, obtemos exatamente v. Para matrizes de mesma dimensão, duas matrizes são iguais se e somente se todos os seus elementos correspondentes são iguais. Logo, para encontrar x_{1},x_{2},x_{3} basta calcular a combinação linear em termos das entradas e igualar cada entrada à correspondente em v. Este procedimento transforma o problema numa sistema linear em termos de x_{1},x_{2},x_{3}.

Passo 3

Vamos calcular explicitamente a combinação linear
x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+x_{3}v_{3}.
Multiplicando e somando entrada a entrada, obtemos
x_{1}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} + x_{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} + x_{3}\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1}+x_{2} & 0\\[4pt] -\,x_{2} & x_{1}+x_{2}+x_{3} \end{pmatrix}.
Aqui eu somei cada posição (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) separadamente. Observe que a entrada (1,2) ficou 0 independentemente de x_{1},x_{2},x_{3}.]

Passo 4

Agora igualamos a matriz obtida à matriz v. Comparando entradas correspondentes, obtemos o sistema
\begin{cases} x_{1}+x_{2}=k,\\[4pt] 0=0,\\[4pt] -\,x_{2}=1,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}=-k. \end{cases}
A segunda equação é trivial (a coluna superior direita já bate), então as equações relevantes são as primeiras, a terceira e a quarta.]

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Da terceira equação, -\,x_{2}=1. Isolando x_{2} temos
x_{2}=-1.
Substituímos x_{2}=-1 na primeira equação x_{1}+x_{2}=k:
x_{1}+(-1)=k \quad\Rightarrow\quad x_{1}=k+1.
Agora usamos a quarta equação x_{1}+x_{2}+x_{3}=-k. Substituindo x_{1}=k+1 e x_{2}=-1,
(k+1)+(-1)+x_{3}=-k \quad\Rightarrow\quad k + x_{3} = -k.
Isolando x_{3} obtemos
x_{3} = -k - k = -2k.

Passo 6

Concluímos que, para qualquer valor real de k, os coeficientes
x_{1}=k+1,\quad x_{2}=-1,\quad x_{3}=-2k
são uma solução do sistema e, portanto, produzem a combinação linear desejada. Para confirmar, podemos recompor a combinação:
\begin{pmatrix} x_{1}+x_{2} & 0\\[4pt] -\,x_{2} & x_{1}+x_{2}+x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (k+1)+(-1) & 0\\[4pt] -(-1) & (k+1)+(-1)+(-2k) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0\\[4pt] 1 & -k \end{pmatrix},
que é exatamente v. Como conseguimos valores reais de x_{1},x_{2},x_{3} para qualquer k\in\mathbb{R}, a condição é satisfeita para todos os k reais.]

Resposta

k\in\mathbb{R}

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