Determine todos os valores de k \in \mathbb{R} para os quais existem x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \mathbb{R} tais que v=x_{1} v_{1}+x_{2} v_{2}+x_{3} v_{3}.
Passo 1
O enunciado dá os vetores (matrizes) em \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}):
onde k\in\mathbb{R}. A pergunta é: determinar todos os valores de k para os quais existem x_{1},x_{2},x_{3}\in\mathbb{R} tais que
v = x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+x_{3}v_{3}.]
Passo 2
O que significa escrever v como combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3}? Significa que existem escalares x_{1},x_{2},x_{3} tais que, somando as matrizes ponderadas, obtemos exatamente v. Para matrizes de mesma dimensão, duas matrizes são iguais se e somente se todos os seus elementos correspondentes são iguais. Logo, para encontrar x_{1},x_{2},x_{3} basta calcular a combinação linear em termos das entradas e igualar cada entrada à correspondente em v. Este procedimento transforma o problema numa sistema linear em termos de x_{1},x_{2},x_{3}.
Passo 3
Vamos calcular explicitamente a combinação linear
x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+x_{3}v_{3}.
Multiplicando e somando entrada a entrada, obtemos