1. Verifique em cada caso se os pontos são coplanares.
    (a) A=(1,2,3), B=(-1,-5,0), C=(-2,-1,-1) e D=(-2,-4,-6).
    (b) A=(-1,0,3), B=(-1,-2,-2), C=(1,0,2) e D=(2,4,1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada conjunto de quatro pontos em R^3, se eles são coplanares. Em geometria vetorial, quatro pontos A,B,C,D são coplanares se, e somente se, o produto misto
[A B,;A C,;A D] ;=; ( AB ) cdot l(ACtimes ADr)
for igual a zero. Vamos, para cada caso, montar os vetores AB,AC,AD, calcular ACtimes AD e depois o escalar com AB.

Passo 2

Caso (a):
A=(1,2,3), B=(-1,-5,0), C=(-2,-1,-1), D=(-2,-4,-6).
AB=(-1-1,,-5-2,,0-3)=(-2,,-7,,-3),
AC=(-2-1,,-1-2,,-1-3)=(-3,,-3,,-4),
AD=(-2-1,,-4-2,,-6-3)=(-3,,-6,,-9)

Passo 3

Calculamos primeiro o produto vetorial
ACtimes AD = i&j&k -3&-3&-4 -3&-6&-9 =(3,,-15,,9)
Agora o produto misto:
(AB)cdotl(ACtimesADr) =(-2)cdot3+(-7)cdot(-15)+(-3)cdot9 =-6+105-27=72neq0
Como o produto misto é diferente de zero, os pontos não são coplanares.

Passo 4

Caso (b):
A=(-1,0,3), B=(-1,-2,-2), C=(1,0,2), D=(2,4,1).
AB=(0,,-2,,-5), AC=(2,,0,,-1), AD=(3,,4,,-2)

Passo 5

Produto vetorial:
ACtimes AD = i&j&k 2&0&-1 3&4&-2 =(4,;1,;8)
Produto misto:
(AB)cdotl(ACtimesADr) =0cdot4+(-2)cdot1+(-5)cdot8 =-2-40=-42neq0
Também diferente de zero, logo os pontos não são coplanares.

Resposta

(a) não coplanares
(b) não coplanares

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