Verifique em cada caso se é possível utilizar a regra de L’hospital. Se sim, calcule o limite.
lim x 0^+(1-cos (x)) cdot ln (x)

Passo 1

Estamos querendo
limxto0^+(1-cos(x))ln(x)
Note que limxto0^+(1-cos(x))=0 e limxto0^+ln(x)=-infty, então o produto é da forma 0cdot(-infty). Para usar a regra de L’Hôpital, vamos primeiro transformar isso num quociente.

Passo 2

Reescrevendo
(1-cos(x))ln(x) =ln(x)dfrac11-cos(x)
Quando xto0^+, o numerador ln(x)to-infty e o denominador tfrac11-cos(x)to+infty. Logo temos a forma -infty/infty, e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador:
– Numerador:
(ln(x))'=1x
– Denominador:
l(tfrac11-cos(x)r)' =-sin(x)(1-cos(x))^2
Pela regra de L’Hôpital,
limxto0^+(1-cos(x))ln(x) =limxto0^+1/x-sin(x)/(1-cos(x))^2 =limxto0^+l(-(1-cos(x))^2x,sin(x)r)

Passo 4

Para avaliar
limxto0^+-(1-cos(x))^2x,sin(x),
usamos equivalências para pequenas x:
1-cos(x)simx^22, sin(x)sim x
Então
-(1-cos(x))^2x,sin(x) sim -(x^2/2)^2xcdot x =-x^4/4x^2 =-x^24 longrightarrow 0

Resposta

0

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