Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
-
onde
é a curva plana dada por
.
-
, onde
e
é uma curva qualquer entre
;
-
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
.
-
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e
é a curva
.
-
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e
é a curva
.
-
, onde
é o campo vetorial em
dado por
onde
é a curva
.
Passo 1
O que vamos usar aqui é a versão do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha: se um campo vetorial
em
(ou
em
) for conservativo, existe um potencial
tal que
, e então
O procedimento para cada parte é:
- Identificar
(e , se for o caso). - Verificar que
(e as outras componentes do rotor são zero). - Encontrar
integrando em e ajustando com funções de (e ). - Avaliar
nos extremos da curva paramétrica.
Passo 2
Parte 1:
com
,
.
-
, . -
, é exato. - Um potencial:
Logo . - Pontos:
, . - Integral
.
Passo 3
Parte 2:
de
a
.
-
, . -
, exato. - Potencial:
Assim . - Em
: .
Em: . - Integral
.
Passo 4
Parte 3:
,
,
.
-
, . -
, exato. - Potencial:
Então . -
dá .
dá . - Integral
.
Passo 5
Parte 4:
,
,
,
.
- Verifica-se que
é conservativo e um potencial é - Em
: , .
Em: , - Integral
Passo 6
Parte 5:
,
,
,
.
- Campo conservativo com potencial
- Em
: , .
Em: , . - Integral
.
Passo 7
Parte 6:
,
,
,
.
- Campo conservativo com potencial
- Em
: , .
Em: , - Integral
.