Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
  1. integralC y e^x y d x+x e^x y d y onde C é a curva plana dada por sigma(t)=(2 t, 3 t^2), 0 <= t <= 1.
  2. integralC(e^x ln y-e^yx) d x+(e^xy-e^y ln x) d y, onde x>0, y>0 e C é uma curva qualquer entre (1,1) e (3,3);
  3. integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^2 dado por F(x, y)=(1+cosh y, x sinh y) e a curva C é dada por sigma(t)=(sin t, 2 t / pi), 0 <= t <= pi / 2.
  4. integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^3 dado por F(x, y, z)=(e^y, x e^y+sin z, y cos z) e C é a curva sigma(t)=(-2 sin t+1, sin t-1, t), pi / 2 <= t <= 7 pi / 6.
  5. integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^3 dado por F(x, y, z)=(y z, z(x+2 y), x y+y^2+2 z) e C é a curva sigma(t)=(t^3+1, cos ^3(pi t), t^4-t^3),-1 <= t <= 2.
  6. integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^3 dado por F(x, y, z)=y^2 cos z i+2 x y cos z j-x y^2 sin z k e onde C é a curva sigma(t)=t^2 i+sin t j+t k, 0 <= t <= 3 pi / 4.

Passo 1

O que vamos usar aqui é a versão do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha: se um campo vetorial F=(M,N) em R^2 (ou F=(M,N,P) em R^3) for conservativo, existe um potencial f tal que nabla f= F, e então
integralC Fcdot d s = fl(ponto finalr) - fl(ponto inicialr)
O procedimento para cada parte é:
  1. Identificar M,N (e P, se for o caso).
  2. Verificar que partial M/partial y=partial N/partial x (e as outras componentes do rotor são zero).
  3. Encontrar f integrando M em x e ajustando com funções de y (e z).
  4. Avaliar f nos extremos da curva paramétrica.

Passo 2

Parte 1: integralCy e^xy,dx + x e^xy,dy com sigma(t)=(2t,3t^2), tin[0,1].
  • M=y e^xy, N=x e^xy.
  • partial M/partial y=e^xy+xy e^xy=partial N/partial x, é exato.
  • Um potencial: f(x,y)=integral M,dx=integral y e^xy,dx=e^xy+g(y),, fy=x e^xy+g'(y)=Nimplies g'=0 Logo f(x,y)=e^xy.
  • Pontos: sigma(0)=(0,0), sigma(1)=(2,3).
  • Integral =f(2,3)-f(0,0)=e^6-1.

Passo 3

Parte 2: integralCl(e^xln y-e^yxr),dx+l(e^xy-e^yln xr),dy de (1,1) a (3,3).
  • M=e^xln y-tfrace^yx, N=tfrace^xy-e^yln x.
  • partial M/partial y=e^x/y - e^y/x=partial N/partial x, exato.
  • Potencial: f(x,y)=integral M,dx=e^xln y - e^yln x + h(y), fy=e^x/y - e^yln x + h'(y)=Nimplies h'=0 Assim f(x,y)=e^xln y - e^yln x.
  • Em (3,3): f(3,3)=e^3ln3 - e^3ln3=0.
    Em (1,1): f(1,1)=ecdot0 - ecdot0=0.
  • Integral =0-0=0.

Passo 4

Parte 3: integralC(1+cosh y),dx + (xsinh y),dy, sigma(t)=(sin t,2t/pi), tin[0,pi/2].
  • M=1+cosh y, N=xsinh y.
  • partial M/partial y=sinh y=partial N/partial x, exato.
  • Potencial: f(x,y)=integral(1+cosh y),dx = x + xcosh y + g(y), fy = xsinh y + g'(y) = xsinh yimplies g'=0 Então f(x,y)=xl(1+cosh yr).
  • sigma(0)=(0,0) f=0.
    sigma(pi/2)=(1,1) f=1+ cosh1.
  • Integral =1+cosh1.

Passo 5

Parte 4: integralC Fcdot d s, F=(e^y,,x e^y+sin z,,ycos z), sigma(t)=(-2sin t+1,sin t-1,t), tin[pi/2,7pi/6].
  • Verifica-se que F é conservativo e um potencial é f(x,y,z)=x e^y + ysin z
  • Em t=pi/2: sigma=( -1,0,pi/2), f=-1.
    Em t=7pi/6: sigma=(2,-tfrac32,7pi/6), f=2e^-3/2 + l(-tfrac32r)sin7pi6 =2e^-3/2 + 34
  • Integral = l(2e^-3/2+tfrac34r) - (-1) =2e^-3/2 + tfrac74

Passo 6

Parte 5: integralC Fcdot d s, F=(yz,,z(x+2y),,xy+y^2+2z), sigma(t)=(t^3+1,cos^3(pi t),t^4-t^3), tin[-1,2].
  • Campo conservativo com potencial f(x,y,z)=xyz + y^2z + z^2
  • Em t=-1: sigma=(0,-1,2), f=0cdot(-1)cdot2 +(-1)^2cdot2 +4=6.
    Em t=2: sigma=(9,1,8), f=9cdot1cdot8 +1^2cdot8 +64=144.
  • Integral =144-6=138.

Passo 7

Parte 6: integralC Fcdot d s, F=(y^2cos z,,2xycos z,,-xy^2sin z), sigma(t)=(t^2,sin t,t), tin[0,3pi/4].
  • Campo conservativo com potencial f(x,y,z)=x,y^2cos z
  • Em t=0: sigma=(0,0,0), f=0.
    Em t=3pi/4: sigma=(tfrac9pi^216,tfracraiz22,tfrac3pi4), f=9pi^216cdot12cdotcos3pi4 =9pi^232cdotl(-raiz22r) =-9pi^2raiz264
  • Integral =-dfrac9pi^2raiz264.

Resposta

  1. e^6-1
  2. 0
  3. 1+cosh1
  4. 2e^-3/2+tfrac74
  5. 138
  6. -dfrac9pi^2raiz264

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