Verifique, em cada caso, se as sequências dadas pelas expressões abaixo são, ou não, limitadas.
\left(3+(-1)^{n}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \{a_n\} definida por
a_n = 3 + (-1)^n.
O conteúdo aqui é identificar se \{a_n\} é limitada. Lembrando que uma sequência é limitada se existe M>0 tal que |a_n|\le M para todo n.

Passo 2

Observamos que (-1)^n só pode valer 1 (quando n é par) ou -1 (quando n é ímpar). Portanto:
  • Se n é par, a_n = 3 + 1 = 4.
  • Se n é ímpar, a_n = 3 - 1 = 2.

Passo 3

Como a_n alterna apenas entre 4 e 2, todos os seus termos satisfazem
2 \le a_n \le 4.
Logo \inf a_n = 2 e \sup a_n = 4, o que mostra que a sequência é limitada inferior e superiormente.

Resposta

A sequência é limitada, pois 2 \le a_n \le 4 para todo n.

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