Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou div gente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 3^{n}}{n!}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}3^{n}}{n!}
e pede para verificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é \displaystyle a_n = \frac{(-1)^{n+1}3^{n}}{n!}.
  • Para testar absoluta/condicional, precisamos analisar a série das moduli e a série original:
    • Série das módulos: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left|a_n\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n!}.
    • Série original com sinais alternados: já está dada por \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}3^{n}}{n!}.

Passo 2

Explicando a estratégia didaticamente (sem pular etapas): para decidir entre absolutamente convergente / condicional / divergente, uma abordagem padrão é:
  • Primeiro testar a convergência absoluta, isto é, estudar \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n!}.
  • Se a série das módulos converge, a série original é absolutamente convergente (e portanto converge).
  • Se a série das módulos diverge, podemos então tentar testar convergência condicional da série original (por exemplo, teste de Leibniz para séries alternadas).
    Aqui vamos mostrar que a série das módulos converge: usarei o teste da razão (um método simples e apropriado quando aparecem fatoriais).

Passo 3

Apresentando o teste da razão (explicação didática):
  • Seja \displaystyle b_n uma sequência de termos positivos e considere a série \displaystyle \sum b_n.
  • O teste da razão diz: calcule \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}.
    • Se L<1, a série \sum b_n converge absolutamente.
    • Se L>1 (ou L=\infty), a série diverge.
    • Se L=1, o teste é inconclusivo.
  • Aqui aplicamos com b_n=\dfrac{3^n}{n!} (os termos positivos da série das módulos). Vou calcular a razão e seu limite.

Passo 4

Cálculo da razão entre termos consecutivos, passo a passo:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{3^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{3^{\,n}}{n!}} = \frac{3^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^{\,n}}.
Agora simplifico fatores iguais:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{\,n}\cdot 3}{3^{\,n}}\cdot\frac{n!}{(n+1)n!} = \frac{3}{n+1}.
Portanto
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3}{n+1}.

Passo 5

Tomando o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1}=0.
Como L=0<1, pelo teste da razão concluímos que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n!} converge.

Passo 6

Interpretação e consequência prática:
  • A convergência da série das módulos \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n!} significa que a série original \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}3^{n}}{n!} é absolutamente convergente.
  • Se uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente (não é condicional). Logo a classificação final é “absolutamente convergente”.
Observação extra (opcional, para fixar): usando a série de Taylor de e^{x},
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},
temos \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n!}=e^{3}-1, que é finito; isso corrobora a convergência absoluta encontrada pelo teste da razão.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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