Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou div gente:
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para verificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral é
. - Para testar absoluta/condicional, precisamos analisar a série das moduli e a série original:
- Série das módulos:
. - Série original com sinais alternados: já está dada por
.
- Série das módulos:
Passo 2
Explicando a estratégia didaticamente (sem pular etapas): para decidir entre absolutamente convergente / condicional / divergente, uma abordagem padrão é:
- Primeiro testar a convergência absoluta, isto é, estudar
. - Se a série das módulos converge, a série original é absolutamente convergente (e portanto converge).
- Se a série das módulos diverge, podemos então tentar testar convergência condicional da série original (por exemplo, teste de Leibniz para séries alternadas).
Aqui vamos mostrar que a série das módulos converge: usarei o teste da razão (um método simples e apropriado quando aparecem fatoriais).
Passo 3
Apresentando o teste da razão (explicação didática):
- Seja
uma sequência de termos positivos e considere a série . - O teste da razão diz: calcule
. - Se
, a série converge absolutamente. - Se
(ou ), a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
- Se
- Aqui aplicamos com
(os termos positivos da série das módulos). Vou calcular a razão e seu limite.
Passo 4
Cálculo da razão entre termos consecutivos, passo a passo:
Agora simplifico fatores iguais:
Portanto
Passo 5
Tomando o limite quando
:
Como
, pelo teste da razão concluímos que a série
converge.
Passo 6
Interpretação e consequência prática:
- A convergência da série das módulos
significa que a série original é absolutamente convergente. - Se uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente (não é condicional). Logo a classificação final é “absolutamente convergente”.
Observação extra (opcional, para fixar): usando a série de Taylor de
,
temos
, que é finito; isso corrobora a convergência absoluta encontrada pelo teste da razão.
Resposta
A série é absolutamente convergente.