Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)^{3 / 4}}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)^{3/4}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste de convergência absoluta (p-série) e o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Analisando a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)^{3/4}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{3/4}}.
Isto é uma p-série com expoente p=\tfrac34<1. Como p-série com p\le1 divergem, concluímos que a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para verificar se a série converge condicionalmente, aplicamos o critério de Leibniz (séries alternadas). Defina
a_n = \frac{1}{(n+1)^{3/4}}.
Observamos que
  1. a_n>0 para todo n.
  2. a_{n+1}<a_n pois a função x\mapsto(x+1)^{-3/4} é decrescente.
  3. \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
    Pelas condições do teste de Leibniz, a série alternada converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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