Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{4 n^{3}+1}.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{4\,n^{3}+1}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas: em particular, a convergência absoluta (comparação com p-séries) e, se necessário, a convergência condicional (por exemplo, critério de Leibniz para séries alternadas).
Passo 2
Para verificar a convergência absoluta, consideramos
Como esse limite é finito e não nulo, a série \sum1/(4\,n^{3}+1) converge exatamente quando \sum1/n^{3} converge. Logo, ela converge. Portanto a série original é absolutamente convergente.