Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{4 n^{3}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{4\,n^{3}+1}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas: em particular, a convergência absoluta (comparação com p-séries) e, se necessário, a convergência condicional (por exemplo, critério de Leibniz para séries alternadas).

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=0}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}}{4\,n^{3}+1}\right| =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4\,n^{3}+1}.
Para n\ge1, comparemos com a p-série \sum1/n^{3}, cuja convergência é garantida pois 3>1. Calculamos o limite das razões dos termos:
\lim_{n\to\infty}\frac{1/(4\,n^{3}+1)}{1/n^{3}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{4\,n^{3}+1} =\frac14\in(0,\infty).
Como esse limite é finito e não nulo, a série \sum1/(4\,n^{3}+1) converge exatamente quando \sum1/n^{3} converge. Logo, ela converge. Portanto a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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