calcule L, o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{1-\cos (x y-2 x)}{(y-2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite em \mathbb{R}^2
\lim_{(x,y)\to(1,2)}\frac{1-\cos(xy-2x)}{(y-2)^{2}}.
O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e o desenvolvimento de Taylor de ordem 2 para \cos.

Passo 2

Definimos
u = xy - 2x = x\,(y-2).
Então o numerador fica 1-\cos(u) e o denominador é (y-2)^2.

Passo 3

Usamos o desenvolvimento de Taylor de \cos em torno de u=0:
\cos(u) = 1 - \frac{u^2}{2} + o(u^2).
Logo
1 - \cos(u) = \frac{u^2}{2} + o(u^2).

Passo 4

Substituindo no quociente, temos
\frac{1-\cos(u)}{(y-2)^2} = \frac{\frac{u^2}{2} + o(u^2)}{(y-2)^2} = \frac{\frac{x^2(y-2)^2}{2} + o((y-2)^2)}{(y-2)^2} = \frac{x^2}{2} + o(1).
Ao levar (x,y)\to(1,2), x\to1 e o termo o(1)\to0.

Passo 5

Concluímos que o limite existe e vale
\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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