Verifique, em cada caso, se a transformação T é linear:
T: P3(R) M2(R), T(x t^3+y t^2+z t+w)=(ccx+y & y -z & w+z).

Passo 1

O enunciado define
Tcolon P3(R)to M2(R), Tl(x t^3+y t^2+z t+wr) =x+y & y[6pt]-z & w+z,
e pede para verificar se T é linear, ou seja, se satisfaz
1. T(p+q)=T(p)+T(q) para quaisquer p,qin P3(R).
2. T(alpha p)=alpha,T(p) para todo alphainR e pin P3(R).]

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja
p(t)=x1t^3+y1t^2+z1t+w1, q(t)=x2t^3+y2t^2+z2t+w2
Então
p(t)+q(t) =(x1+x2)t^3+(y1+y2)t^2+(z1+z2)t+(w1+w2),
e aplicando T temos
T(p+q) = (x1+x2)+(y1+y2) & (y1+y2)[4pt] -(z1+z2) & (w1+w2)+(z1+z2)
Reagrupando, isto é
T(p+q) = x1+y1 & y1[4pt] -z1 & w1+z1 + x2+y2 & y2[4pt] -z2 & w2+z2 =T(p)+T(q) ]

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja alphainR e
p(t)=x,t^3+y,t^2+z,t+w
Então
alpha,p(t) =(alpha x)t^3+(alpha y)t^2+(alpha z)t+(alpha w),
e aplicando T obtemos
T(alpha p) = alpha x+alpha y & alpha y[4pt] -alpha z & alpha w+alpha z =alpha x+y & y[4pt] -z & w+z =alpha,T(p) ]

Resposta

A transformação T é linear.

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