Verifique, em cada caso, se a transformação
é linear:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
definida por
é de fato linear.
Para isso vamos usar a definição:T é linear se, para quaisquer matrizes
X,Y e escalar
k , valem
Para isso vamos usar a definição:
-
T(X + Y) = T(X) + T(Y) -
.T(k,X) = k,T(X)
Passo 2
Verificação da soma.
Sejam
Sejam
Então
e
Por outro lado,
Logo
Passo 3
Verificação da homogeneidade.
Para escalar e matriz
,
temos
Para escalar
,
temos
Passo 4
Como
T preserva soma e multiplicação por escalar, pela definição
T é linear.
Resposta
A transformação
T é linear.