Considere os subespaços U, W do R^3 definidos por:
U=(x, y, z) in R^3 mid x=y=0 e W=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0
Mostre que R^3=U oplus W.

Passo 1

O enunciado define os subespaços
U = (x,y,z)in R^3 mid x=y=0
e
W = (x,y,z)in R^3 mid x+y+z=0
Queremos mostrar que
R^3 = U oplus W,
isto é, que (i) Ucap W = 0 e (ii) U+W= R^3.

Passo 2

Vamos provar que Ucap W = 0. Seja
v = (x,y,z)in Ucap W
Como vin U temos x=y=0, logo v=(0,0,z). Como também vin W, vale
x+y+z=0 implies 0+0+z=0 implies z=0
Portanto v=(0,0,0) e concluímos Ucap W=0.

Passo 3

Agora mostramos que U+W= R^3. Tome um vetor qualquer
v=(x,y,z)in R^3
Queremos escrever v=u+w com uin U e win W. Se escolhermos
u = (0,0,x+y+z)in U,
então definimos
w = v - u = (x,y,z) - (0,0,x+y+z) = l(x,;y,;z-(x+y+z)r) = (x,y,-(x+y))
Como
soma das coordenadas de w = x + y + (-(x+y)) = 0,
temos win W. Isso mostra que todo v se decompõe em um uin U mais um win W, logo U+W= R^3.

Resposta

Como estabelecemos Ucap W=0 e U+W= R^3, segue-se que
R^3 = U oplus W

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