Verifique se cada uma das equações dadas são exatas. Se for, resolva-a.
\left(1-2 x^{2}-2 y\right) \frac{d y}{d x}=4 x^{3}+4 x y

Passo 1

O enunciado dá a equação
\bigl(1 - 2x^{2} - 2y\bigr)\,\frac{dy}{dx} \;=\; 4x^{3} + 4xy
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Vamos reescrevê-la na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
Multiplicando ambos os lados por dx e reorganizando, obtemos
\bigl(4x^{3} + 4x y\bigr)\,dx \;-\;\bigl(1 - 2x^{2} - 2y\bigr)\,dy = 0.
Assim,
M(x,y) = 4x^{3} + 4x y, \qquad N(x,y) = -\bigl(1 - 2x^{2} - 2y\bigr) = -1 + 2x^{2} + 2y.

Passo 2

Para checar exatidão, calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 4x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 4x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M(x,y) = 4x^{3} + 4x y.
Integrando em relação a x, temos
\varphi(x,y) = \int \bigl(4x^{3} + 4x y\bigr)\,dx = x^{4} + 2x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Agora impomos que
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2x^{2} + h'(y) \;\stackrel{!}{=}\; N(x,y) = 2x^{2} + 2y - 1.
Daí
h'(y) = 2y - 1 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = y^{2} - y + C_{1}.

Passo 5

Substituindo h(y) em \varphi, obtemos a solução implícita da equação:
\varphi(x,y) = x^{4} + 2x^{2}y + y^{2} - y = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A equação é exata, e sua solução geral é dada implicitamente por
x^{4} + 2x^{2}y + y^{2} - y = C.

Exercícios relacionados