Mostre que uma primitiva de f(x)= \overline{\sqrt{1-x^{2}}} é a função F(x)=\operatorname{arcsen}(x).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma primitiva de
f(x)=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}
é dada por
F(x)=\arcsin(x).
O conteúdo usado aqui é o cálculo de derivada de função inversa (no caso, de \sin) para verificar que F'(x)=f(x).

Passo 2

Defina y = F(x) = \arcsin(x). Por definição de arco-seno, temos
\sin(y) = x,\quad y\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Diferenciando ambos os lados em relação a x, aplica-se a derivada composta em \sin(y):
\cos(y)\,\frac{dy}{dx} = 1.
Logo,
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(y)}.

Passo 3

Como \sin^{2}(y)+\cos^{2}(y)=1 e \sin(y)=x, segue que
\cos(y)=\sqrt{1 - \sin^{2}(y)}=\sqrt{1 - x^{2}}.
Substituindo em \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos(y)} obtemos
F'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin(x)\bigr) =\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} =f(x).
Portanto, F'(x)=f(x), ou seja, F é de fato uma primitiva de f.

Resposta

Uma primitiva de \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} é
F(x)=\arcsin(x)+C,
onde C é a constante de integração.

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