Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-a.
Passo 1
Temos a equação diferencial
. Isso é uma equação do tipo
, ou equivalentemente
. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: precisamos verificar se existe uma função potencial
tal que
e
, e então encontrar
.
Passo 2
Identificamos as funções
inline:
e
.
inline:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
e
. Como
, a equação é exata.
Passo 4
Integramos
em relação a
para obter
:
Passo 5
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
implica
, logo
.
Passo 6
Portanto a solução implícita dada pela condição
é
.
Resposta
x^2 + x + \frac{y^2}{x} = C