Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-a.
2 x+1-y^2x^2+2 yx d yd x=0

Passo 1

Temos a equação diferencial 2x+1-y^2x^2+2yxdydx=0. Isso é uma equação do tipo M(x,y)+N(x,y),y'=0, ou equivalentemente M(x,y),dx+N(x,y),dy=0. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: precisamos verificar se existe uma função potencial Psi(x,y) tal que Psix=M e Psiy=N, e então encontrar Psi(x,y)=C.

Passo 2

Identificamos as funções
inline:
M(x,y)=2x+1-tfracy^2x^2 e N(x,y)=tfrac2yx.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
partial M/partial y=-tfrac2yx^2 e partial N/partial x=-tfrac2yx^2. Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Integramos M em relação a x para obter Psi(x,y):
Psi(x,y)=integrall(2x+1-y^2x^2r)dx=x^2+x+y^2x+h(y)

Passo 5

Derivamos Psi em relação a y e igualamos a N:
Psiy=2yx+h'(y)=N=2yx implica h'(y)=0, logo h(y)=constante.

Passo 6

Portanto a solução implícita dada pela condição Psi(x,y)=C é
x^2+x+y^2x=C.

Resposta

x^2 + x + \frac{y^2}{x} = C

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