Verifique que cada função dada é solução da EDO correspondente.
\varphi(x)=\sin (x)-1, para y^{\prime}+(\cos x) y=\sin x \cdot \cos x;

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função \varphi(x)=\sin(x)-1 satisfaz a EDO de primeira ordem
y' + (\cos x)\,y = \sin x\cdot\cos x.
O conteúdo aqui é substituição direta em uma EDO linear: vamos calcular y', formar y'+\cos x\,y e conferir se dá o termo de direita.

Passo 2

Calculemos a derivada de \varphi(x):
\varphi'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\sin(x)-1\bigr) = \cos(x).

Passo 3

Multipliquemos \varphi(x) por \cos(x):
\cos(x)\,\varphi(x) = \cos(x)\,\bigl(\sin(x)-1\bigr) = \sin(x)\cos(x) \;-\;\cos(x).

Passo 4

Agora somamos \varphi'(x) com \cos(x)\,\varphi(x):
\varphi'(x) + \cos(x)\,\varphi(x) = \cos(x) + \bigl(\sin(x)\cos(x)-\cos(x)\bigr) = \sin(x)\cos(x).
Isso coincide exatamente com o lado direito da EDO.

Resposta

A função \varphi(x)=\sin(x)-1 é solução da equação y' + (\cos x)\,y = \sin x\cdot\cos x.

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