Verifique que cada função dada é solução da EDO correspondente.
\varphi(x)=c_{1}+c_{2} e^{x}, para y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0, onde c_{1}, c_{2} são constantes;

Passo 1

O enunciado nos dá a função \varphi(x)=c_{1}+c_{2}e^{x} e pede para verificar que ela satisfaz a EDO
y'' - y' = 0.
O conteúdo aqui é a verificação direta de solução de uma EDO linear homogênea de coeficientes constantes, o que fazemos calculando as derivadas e substituindo na equação.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de \varphi. Como c_{1} é constante e c_{2}e^{x} tem derivada c_{2}e^{x}, temos
\varphi'(x)=c_{2}e^{x}.

Passo 3

Agora a segunda derivada de \varphi. Derivando \varphi'(x)=c_{2}e^{x} obtemos
\varphi''(x)=c_{2}e^{x}.

Passo 4

Substituímos \varphi' e \varphi'' na EDO:
\varphi''(x)-\varphi'(x) = c_{2}e^{x} - c_{2}e^{x} = 0.
Como o resultado é zero para todo x, concluímos que \varphi(x) satisfaz a equação.

Resposta

Verificou-se que \varphi''(x)-\varphi'(x)=0, logo \varphi(x)=c_{1}+c_{2}e^{x} é solução da EDO dada.

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