Verifique se cada função dada é uma solução da equação diferencial.
y^prime prime+3 y^prime+y=0, y1(t)=e^-t, y2(t)=e^-t ln t

Passo 1

A questão pede para verificar se as funções dadas satisfazem a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y'' + 3y' + y = 0. Para isso, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de cada função e substituí-las na equação. Note que para y2(t) = e^-tln t precisamos de t>0 para o logaritmo estar definido.

Passo 2

Para y1(t) = e^-t: calculamos
y1'(t) = -e^-t,
y1''(t) = e^-t
Substituindo na equação:
y1'' + 3y1' + y1 = e^-t + 3(-e^-t) + e^-t = (1 - 3 + 1)e^-t = 0
Como dá zero identicamente, y1 é solução.

Passo 3

Para y2(t) = e^-tln t com t>0: primeiro derivada por produto:
y2'(t) = ddt(e^-t)ln t + e^-tddt(ln t) = -e^-tln t + e^-tt = e^-tl(-ln t + tfrac1tr)
Segunda derivada:
y2''(t) = ddtl[e^-t(-ln t + tfrac1t)r] = -e^-t(-ln t + tfrac1t) + e^-tl(-tfrac1t - tfrac1t^2r)
= e^-tl(ln t - tfrac2t - tfrac1t^2r)
Agora substituímos:
y2'' + 3y2' + y2 = e^-tl(ln t - tfrac2t - tfrac1t^2r) + 3e^-tl(-ln t + tfrac1tr) + e^-tln t
Juntando os termos dentro de colchetes dá
(1 - 3 + 1)ln t +l(-2 + 3r)tfrac1t - tfrac1t^2 = -ln t + tfrac1t - tfrac1t^2,
que não é zero para todo t>0. Portanto y2 não satisfaz a equação.

Resposta

A função y1(t)=e^-t satisfaz a equação diferencial e, portanto, é solução. A função y2(t)=e^-tln t não satisfaz y''+3y'+y=0 e, portanto, não é solução.

Exercícios relacionados