Calcule usando os limites fundamentais.
\lim _{x \rightarrow-1}(2+x)^{\frac{1}{x+1}}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\lim_{x\to -1}(2+x)^{\frac{1}{x+1}}.
Esse tipo de limite é clássico e costuma ser resolvido a partir do limite fundamental
\lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}} = e.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = x + 1.
Quando x \to -1, temos t \to 0. Além disso,
2 + x = 2 + (t - 1) = 1 + t.

Passo 3

Substituindo na expressão original, obtemos
(2+x)^{\frac{1}{x+1}} = (1+t)^{\frac{1}{t}},
e o limite passa a ser
\lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}.

Passo 4

Pelo limite fundamental
\lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}} = e,
concluímos que o valor do limite é e.

Resposta

e

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