Verifique se cada funçīo abaixo é par, impar ou nem par e nem impar.
f(x)=x^{3}+4 x

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a função f abaixo é par, ímpar ou nenhuma das duas:
f(x)=x^{3}+4x.
Informações dadas: a expressão algébrica de f(x) com os termos x^{3} e 4x. Não há figura nem outra informação.

Passo 2

Vamos lembrar, com calma, as definições — são as ferramentas que vamos usar:
  • Uma função g é par se, para todo x no domínio, vale
g(-x)=g(x).
Geometricamente, isso significa simetria em relação ao eixo y (mesma altura para x e -x).
  • Uma função g é ímpar se, para todo x no domínio, vale
g(-x)=-g(x).
Geometricamente, isso significa simetria em relação à origem (o ponto (x,g(x)) corresponde a (-x,-g(x))).
Dica prática: para decidir, calcule f(-x) e compare com f(x) e com -f(x).

Passo 3

Calculemos f(-x) substituindo x por -x na expressão de f:
f(-x)=(-x)^{3}+4(-x).
Agora desenvolve cada parte: (-x)^{3}=-(x^{3}) porque uma potência ímpar inverte o sinal, e 4(-x)=-4x. Então
f(-x)=-(x^{3})-4x.

Passo 4

Reorganizando a expressão obtida:
f(-x)=-(x^{3}+4x).
Reconheça que x^{3}+4x é justamente f(x). Logo
f(-x)=-f(x).

Passo 5

Chegamos a uma igualdade que é exatamente a condição da definição de função ímpar:
f(-x)=-f(x).
Não precisamos de cálculos adicionais: essa relação demonstra que f satisfaz a definição de função ímpar.

Passo 6

Comentário prático para a prova (truque rápido): polinômios compostos apenas de termos de grau ímpar (como x^{3}, x, x^{5}, etc.) e sem termo constante costumam ser funções ímpares. Aqui temos só x^{3} e x (graus ímpares), então já era de esperar que f fosse ímpar. Exemplos rápidos: \,x^{2} é par; \,x^{3} é ímpar; x^{2}+x é nem par nem ímpar (mistura de par e ímpar).

Resposta

ímpar

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