Verifique se cada funçīo abaixo é par, impar ou nem par e nem impar.
f(x)=x^{3}-2 x

Passo 1

O enunciado pede: verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. A função dada é \,f(x)=x^{3}-2x\,. Informação relevante: trata-se de um polinômio definido para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Definições que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Uma função é par se, para todo x, vale \,f(-x)=f(x)\,. Intuição: o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Uma função é ímpar se, para todo x, vale \,f(-x)=-f(x)\,. Intuição: o gráfico tem simetria rotacional de 180^\circ em torno da origem.
  • Se não ocorre nenhuma das duas igualdades para todos os x, a função é nem par nem ímpar.
Exemplo curto para fixar: \,g(x)=x^2\, é par porque \,g(-x)=(-x)^2=x^2=g(x)\,. Já \,h(x)=x^3\, é ímpar porque \,h(-x)=(-x)^3=-x^3=-h(x)\,.

Passo 3

Vamos calcular \,f(-x)\, substituindo -x na expressão de f:
f(-x)=(-x)^{3}-2(-x).

Passo 4

Agora simplificamos os termos passo a passo:
(-x)^{3} = -x^{3}
e
-2(-x)=+2x.
Portanto
f(-x)=-x^{3}+2x.

Passo 5

Calculemos também -f(x) para comparar:
-f(x)=-(x^{3}-2x)=-x^{3}+2x.

Passo 6

Compare \,f(-x)\, e \,-f(x)\,: das contas anteriores temos
f(-x)=-x^{3}+2x \quad\text{e}\quad -f(x)=-x^{3}+2x,
ou seja,
f(-x)=-f(x)\quad\text{para todo }x.

Passo 7

Conclusão lógica: como \,f(-x)=-f(x) para todo x, a função é ímpar. Observação prática: polinômios que têm apenas monômios de grau ímpar (como x^3 e x) costumam ser ímpares, então esse padrão confirma a conclusão.

Resposta

Ímpar

Exercícios relacionados