Verifique que se phi, phi1 e phi2 são funções diferenciáveis, então
W(phi phi1, phi phi2)=(phi)^2 W(phi1, phi2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para funções diferenciáveis phi,phi1,phi2, vale
W(phi,phi1,,phi,phi2)=phi^2,W(phi1,phi2)
O conteúdo principal aqui é o uso da definição de Wronskiano e da regra do produto na diferenciação.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de Wronskiano de duas funções f e g:
W(f,g)=f,g' - f',g
Também usamos a regra do produto: se h(x)=u(x)v(x), então h'=u'v+u v'.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto para calcular as derivadas:
(phiphi1)'=phi'phi1+phi,phi1',
(phiphi2)'=phi'phi2+phi,phi2'

Passo 4

Substituímos essas derivadas na definição de Wronskiano:
W(phiphi1,phiphi2)=(phiphi1)l(phi'phi2+phi,phi2'r)-l(phi'phi1+phi,phi1'r)(phiphi2)
Agora expandimos e cancelamos termos iguais: os dois termos phiphi1,phi'phi2 e phi'phi1,phiphi2 se anulam.

Passo 5

Após o cancelamento sobra somente:
W(phiphi1,phiphi2)=phi^2l(phi1,phi2'-phi1',phi2r)=phi^2,W(phi1,phi2)

Passo 6

Isso prova exatamente a identidade pedida.

Resposta

W(\phi\phi_1,\phi\phi_2)=\phi^2,W(\phi_1,\phi_2)

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