Verifique que se
e
são funções diferenciáveis, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para funções diferenciáveis
, vale
O conteúdo principal aqui é o uso da definição de Wronskiano e da regra do produto na diferenciação.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de Wronskiano de duas funções
e
:
Também usamos a regra do produto: se
, então
.
Passo 3
Aplicamos a regra do produto para calcular as derivadas:
Passo 4
Substituímos essas derivadas na definição de Wronskiano:
Agora expandimos e cancelamos termos iguais: os dois termos
e
se anulam.
Passo 5
Após o cancelamento sobra somente:
Passo 6
Isso prova exatamente a identidade pedida.
Resposta
W(\phi\phi_1,\phi\phi_2)=\phi^2,W(\phi_1,\phi_2)