Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
W=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)in R^3 mid x^2 + y^2 + z^2 <= 1
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de V = R^3. Para isso, lembramos que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz três propriedades:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em W. Como
0^2 + 0^2 + 0^2 = 0 <= 1,
temos (0,0,0)in W. Logo, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Testamos a fechadura sob adição. Considere
u = (1,0,0), v = (1,0,0)
Ambos estão em W porque 1^2+0^2+0^2=1<=1. Mas
u + v = (2,0,0),
e
2^2 + 0^2 + 0^2 = 4 > 1,
portanto u+vnotin W. Logo, W não é fechado sob adição.

Passo 4

Testamos a fechadura sob multiplicação por escalar. Tome
u = (1,0,0)in W
e o escalar alpha = 2. Então
alpha,u = (2,0,0),
e de novo |(2,0,0)|^2 = 4 > 1, ou seja alpha,unotin W. Logo, W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como falha pelo menos uma das condições necessárias (fechadura sob adição e/ou escalar), concluímos que W não é subespaço vetorial de R^3.

Resposta

W não é um subespaço vetorial de R^3.

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