Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
V=C^2 sobre R.
W=(a+b i, c+d i) in C^2 ; a-2 c=0 e b+d=0

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V=C^2
visto como espaço sobre R. Cada vetor em V pode ser escrito como
,(a+bi,;c+di) com a,b,c,dinR.
O subconjunto é
W=(a+bi,;c+di)inC^2 mid a-2c=0 e b+d=0
Precisamos verificar se W é subespaço de V, isto é, se contém o zero e é fechado em soma e escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero de V, dado por
,(0+0i,;0+0i), pertence a W.
Aqui a=b=c=d=0, então
a-2c=0-2cdot0=0, b+d=0+0=0,
logo (0,0)in W.

Passo 3

Fechamento em adição: sejam
v=(a+bi,;c+di)in W e v'=(a'+b'i,;c'+d'i)in W
Então
(a+a')-2(c+c')=(a-2c)+(a'-2c')=0+0=0,
(b+b')+(d+d')=(b+d)+(b'+d')=0+0=0,
portanto v+v' satisfaz as duas condições e v+v'in W.

Passo 4

Fechamento em multiplicação escalar: seja lambdainR.
lambda v=(lambda a+ilambda b,;lambda c+ilambda d).
Então
lambda a-2(lambda c)=lambda(a-2c)=lambdacdot0=0,
lambda b+lambda d=lambda(b+d)=lambdacdot0=0,
logo lambda vin W.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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