Verifique, em cada item, se a sequência dada é crescente, não decrescente, decrescente, não crescente ou não monótona.
n^3-1n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a monotonicidade da sequência
an = n^3 - 1n,
ou seja, verificar se ela é crescente (estritamente crescente), não decrescente, decrescente, não crescente ou não monótona. Vamos usar a diferença an+1-an para checar se é sempre positiva, sempre negativa ou muda de sinal.

Passo 2

Escrevemos an e an+1:
an = n^2 - 1n,
an+1 = (n+1)^2 - 1n+1 = n^2 + 2n + 1 - 1n+1

Passo 3

Calculamos a diferença
De<an = an+1 - an = l(n^2 + 2n + 1 - tfrac1n+1r) - l(n^2 - tfrac1nr) = 2n + 1 + l(tfrac1n - tfrac1n+1r)
Note que
tfrac1n - tfrac1n+1 = (n+1)-nn(n+1) = 1n(n+1)>0
Logo
De<an = 2n+1 + 1n(n+1)>0para todo n>=1

Passo 4

Como De<an>0 para todo n, temos
an+1>anforall n>=1,
logo a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência n^3-1n é crescente.

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