Verifique, em cada item, se a sequência dada é crescente, não decrescente, decrescente, não crescente ou não monótona.
n2^n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a sequência an definida por
an = n2^n
em termos de monotonicidade (crescente, não decrescente, decrescente, não crescente ou não monótona). O conteúdo aqui é sequência monótona, e vamos usar a comparação entre termos consecutivos.

Passo 2

Calcular a razão entre termos consecutivos:
an+1an = n+12^n+1n2^n = n+12n = 12 + 12n
Essa expressão permite ver se an+1 é maior, igual ou menor que an.

Passo 3

Determinar para quais n vale
an+1an <= 1
Temos
12 + 12n <= 1 ;Long<=ftrightarrow; 12n <= 12 ;Long<=ftrightarrow; 1n <= 1 ;Long<=ftrightarrow; n >= 1
Logo, para todo ninN (a partir de 1) satisfaz tfracan+1an<=1. Observamos igualdade apenas em n=1 (pois tfraca2a1=1); para n>=2 a desigualdade é estrita.

Passo 4

Como an+1<= an para todo n, concluímos que a sequência é monótona no sentido não crescente (ou seja, nunca aumenta; a partir de n=2 decresce estritamente).

Resposta

A sequência ltfracn2^nr é não crescente.

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