Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação é um produto interno no espaço vetorial .
, onde é o traço de .

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=M2(R) e a aplicação
lang<= A,Brang<= = tr(A^T B),
onde A,Bin M2(R) e tr(X) é o traço de X. Para mostrar que é produto interno, precisamos verificar três propriedades: simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria. Usamos a propriedade do traço de que tr(X Y)=tr(Y X). Então
lang<= A,Brang<= = tr(A^T B) = tr(B,A^T) = trl((B^T A)^Tr) = tr(B^T A) = lang<= B,Arang<=
Logo, lang<= A,Brang<==lang<= B,Arang<=.

Passo 3

Mostramos a linearidade no primeiro argumento. Sejam A,Cin M2(R) e alphainR. Então
lang<= A+C,,Brang<= = trl((A+C)^T Br) = tr(A^T B + C^T B) = tr(A^T B) + tr(C^T B) = lang<= A,Brang<= + lang<= C,Brang<=
e
lang<= alpha A,,Brang<= = trl((alpha A)^T Br) = tr(alpha,A^T B) = alpha,tr(A^T B) = alpha,lang<= A,Brang<=

Passo 4

Verificamos a positividade definida. Para A=(aij), temos
lang<= A,Arang<= = tr(A^T A) = sumi,j=1^2 aij^2 >= 0
Além disso, sum aij^2=0 se e somente se todos os aij=0, i.e.\ A é a matriz zero. Logo lang<= A,Arang<==0 implica A=0.

Resposta

Sim, lang<= A,Brang<= = tr(A^T B) satisfaz simetria, linearidade e positividade definida, sendo portanto um produto interno em M2(R).

Exercícios relacionados