Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação é um produto interno no espaço vetorial
.
, onde
é o traço de
.
, onde
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e a aplicação
onde
e
é o traço de
. Para mostrar que é produto interno, precisamos verificar três propriedades: simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria. Usamos a propriedade do traço de que
. Então
Logo,
.
Passo 3
Mostramos a linearidade no primeiro argumento. Sejam
e
. Então
e
Passo 4
Verificamos a positividade definida. Para
, temos
Além disso,
se e somente se todos os
, i.e.\
é a matriz zero. Logo
implica
.
Resposta
Sim,
satisfaz simetria, linearidade e positividade definida, sendo portanto um produto interno em
.