Verifique se, para cada um dos itens abaixo, o subconjunto S do espaço vetorial V é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
S=\left\{3 x^{2}-3 x+6,2 x^{2}-2 x+4, x^{3}-5 x^{2}+x-11\right\}, V=C([0,1], \mathbb{R})=\{f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} ; f é continua }).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto S do espaço vetorial V=C([0,1],\mathbb{R}) é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
As informações dadas são:
S=\{\,3x^{2}-3x+6,\;2x^{2}-2x+4,\;x^{3}-5x^{2}+x-11\,\}.
Ou seja, temos três funções (polinômios) contínuas em [0,1] e queremos decidir se existe uma combinação linear não-trivial delas que seja a função zero (identicamente zero) em [0,1].

Passo 2

Vou lembrar o que significa linearmente dependente ou independente, passo a passo, com calma.
Definição (explicada): as funções f_{1},f_{2},f_{3} são linearmente dependentes se existem escalares a,b,c, nem todos zero, tais que a combinação
a f_{1}(x)+b f_{2}(x)+c f_{3}(x)=0
para todo x\in[0,1]. Se a única solução de a f_{1}+b f_{2}+c f_{3}=0 for a=b=c=0, então são linearmente independentes.
Observação útil: se uma das funções é múltipla escalar exata de outra (por exemplo f_{1}=\lambda f_{2} com \lambda\neq0), então já temos dependência linear, porque f_{1}-\lambda f_{2}=0 é uma combinação não-trivial.

Passo 3

Vou olhar as duas primeiras funções e verificar se uma é múltipla da outra (isso costuma ser a maneira mais direta de detectar dependência). As duas primeiras são
f_{1}(x)=3x^{2}-3x+6,
f_{2}(x)=2x^{2}-2x+4.
Compare coeficiente a coeficiente: o coeficiente de x^{2} em f_{1} é 3 e em f_{2} é 2. Se há um escalar \lambda tal que f_{1}=\lambda f_{2}, então \lambda=\dfrac{3}{2}. Verifico os outros coeficientes com esse \lambda:
\lambda\cdot(-2)=\frac{3}{2}\cdot(-2)=-3,
que é o coeficiente de x em f_{1}, e
\lambda\cdot 4=\frac{3}{2}\cdot 4=6,
que é a constante em f_{1}. Portanto:
f_{1}(x)=\frac{3}{2}\,f_{2}(x)\quad\text{para todo }x.

Passo 4

Como f_{1}=\dfrac{3}{2}f_{2}, temos uma combinação linear não-trivial que dá a função zero:
2f_{1}(x)-3f_{2}(x)=0\quad\text{para todo }x.
Aqui os coeficientes são a=2, b=-3, c=0 — nem todos zero — e a combinação é identicamente zero. Isso já prova que o conjunto S é linearmente dependente.

Passo 5

Para reforçar a compreensão (e caso você encontre uma questão parecida na prova), mostro o método geral por comparação de coeficientes: suponha que
a(3x^{2}-3x+6)+b(2x^{2}-2x+4)+c(x^{3}-5x^{2}+x-11)=0
para todo x\). Agrupando termos por potências de \(x\) obtemos o polinômio \[c x^{3}+(3a+2b-5c)x^{2}+(-3a-2b+c)x+(6a+4b-11c)=0.
Um polinômio que é zero para todo x tem todos os coeficientes iguais a zero, logo o sistema de equações é
\begin{cases} c=0,\\[4pt] 3a+2b-5c=0,\\[4pt] -3a-2b+c=0,\\[4pt] 6a+4b-11c=0. \end{cases}
Substituindo c=0\] nas demais equações sobra \[\begin{cases} 3a+2b=0,\\[4pt] -3a-2b=0,\\[4pt] 6a+4b=0. \end{cases}\] As duas primeiras são a mesma equação multiplicada por \(-1, então temos 3a+2b=0, ou seja b=-\tfrac{3}{2}a. Isso dá infinitas soluções lineares (por exemplo a=2,b=-3,c=0), confirmando a dependência linear. Esse cálculo é só para você ver o procedimento algébrico completo.]

Passo 6

Conclusão prática e motivadora: você não precisa sempre resolver o sistema completo — procurar proporções entre funções (como fizemos entre f_{1} e f_{2}) é uma maneira muito rápida em prova. Encontrando uma relação não-trivial já acaba o problema: o conjunto é linearmente dependente. Força — você está indo bem!

Resposta

Linearmente dependente (LD)

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