Exercício 36 Considere os seguintes subespaços vetoriais de
Determine uma base para os subespaços
e
.
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
O que é pedido explicitamente:
- Determinar uma base para o subespaço
. - Determinar uma base para o subespaço
. - Determinar uma base para o subespaço
.
Informações relevantes fornecidas:
- Em
as entradas obedecem à estrutura simétrica: elemento igual ao elemento . - Em
a entrada é o negativo da entrada ; as entradas e são independentes entre si. - Cada subespaço é descrito por três parâmetros reais (
), o que sugere dimensão até 3, mas precisamos verificar independência linear para confirmar bases e dimensões.]
Passo 2
Estratégia e conceitos básicos (sem pular etapas):
- Vou tratar matrizes como vetores cucoordenadas são suas entradas. Para uma matriz
eu penso nas quatro entradas . - Definição de base (explicação didática): uma base de um subespaço é um conjunto de vetores (aqui: matrizes) que (i) geram o subespaço (ou seja, qualquer elemento do subespaço é combinação linear deles) e (ii) são linearmente independentes (a única combinação linear que dá a matriz zero é aquela com todos os coeficientes zero). Quando temos uma descrição paramétrica por coeficientes (
), uma maneira direta é escrever as matrizes correspondentes a cada parâmetro tomando-os um por vez igual a e os demais ; frequentemente essas matrizes formam uma base. - Vou aplicar isso: para cada subespaço vou expressar a matriz genérica em termos dos parâmetros, separar os termos em somas multiplicadas por
e tomar as matrizes multiplicadoras como candidatos a base. Depois verifico independência linear (mostrando que combinação linear nula força coeficientes zero) e que geram todo o subespaço.
Passo 3
Construção e verificação da base para
.
- Escrevo a matriz genérica de
em função dos parâmetros :
- Proponho o conjunto
como base candidata para
.
-
Verifico que geram
: pela decomposição acima, qualquer matriz de é combinação linear das três matrizes, com coeficientes exatamente . Então geram. -
Verifico independência linear: suponha que existam
tais que
Isso é equivalente às igualdades de entradas:
- posição
: ; - posição
: ; - posição
: (mesma equação que ); - posição
: .
Logo, o que prova independência linear.
- Conclusão:
é uma base de . A dimensão de é .]
Passo 4
Construção e verificação da base para
.
- Escrevo a matriz genérica de
em função dos parâmetros :
- Proponho o conjunto
como base candidata para
.
-
Verifico que geram
: pela decomposição acima, qualquer matriz de é combinação linear dessas três matrizes com coeficientes . Então geram. -
Verifico independência linear: suponha
com
Isso dá as igualdades de entradas:
-
: ; -
: ; -
: ; -
: (coincide com a primeira).
Logo, provando independência linear.
- Conclusão:
é uma base de . A dimensão de é .]
Passo 5
Determinação de
(interseção) fazendo as condições simultâneas.
- Seja uma matriz qualquer
Pertencer a
implica que
(simetria). Pertencer a
implica que
(posição
é negativa da
). Não há outras restrições além dessas duas.
- Então matrizes em
têm a forma
onde identifiquei
e
.
- Escrevo essa matriz como combinação linear de duas matrizes naturalmente associadas aos parâmetros
e :
Passo 6
Construção e verificação da base para
.
- Proponho
-
Geram
porque a decomposição da etapa anterior mostra que qualquer matriz da interseção é combinação linear com coeficientes . -
Independência linear: suponha
tais que
Das entradas obtemos
(pela
) e
(pela
). Logo são linearmente independentes.
- Conclusão:
é uma base de . A dimensão da interseção é .]
Resposta
Base de
:
Base de
:
Base de
:
]