Exercício 36 Considere os seguintes subespaços vetoriais de M_{2 \times 2}(\mathbb{R})
U=\left\{\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ b & c \end{array}\right] ; \quad a, b, c, \in \mathbb{R}\right\} \quad e \quad W=\left\{\left[\begin{array}{rr} a & b \\\ c & -a \end{array}\right] ; \quad a, b, c \in \mathbb{R}\right\} .
Determine uma base para os subespaços U, W e U \cap W.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de M_{2\times 2}(\mathbb{R}):
U=\left\{\left[\begin{array}{cc} a & b\\[4pt] b & c \end{array}\right]\;;\quad a,b,c\in\mathbb{R}\right\} \qquad\text{e}\qquad W=\left\{\left[\begin{array}{cc} a & b\\[4pt] c & -a \end{array}\right]\;;\quad a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.
O que é pedido explicitamente:
  • Determinar uma base para o subespaço U.
  • Determinar uma base para o subespaço W.
  • Determinar uma base para o subespaço U\cap W.
Informações relevantes fornecidas:
  • Em U as entradas obedecem à estrutura simétrica: elemento (2,1) igual ao elemento (1,2).
  • Em W a entrada (2,2) é o negativo da entrada (1,1); as entradas (1,2) e (2,1) são independentes entre si.
  • Cada subespaço é descrito por três parâmetros reais ( a,b,c), o que sugere dimensão até 3, mas precisamos verificar independência linear para confirmar bases e dimensões.]

Passo 2

Estratégia e conceitos básicos (sem pular etapas):
  • Vou tratar matrizes como vetores cucoordenadas são suas entradas. Para uma matriz \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}\\\ x_{21} & x_{22}\end{pmatrix} eu penso nas quatro entradas x_{11},x_{12},x_{21},x_{22}.
  • Definição de base (explicação didática): uma base de um subespaço é um conjunto de vetores (aqui: matrizes) que (i) geram o subespaço (ou seja, qualquer elemento do subespaço é combinação linear deles) e (ii) são linearmente independentes (a única combinação linear que dá a matriz zero é aquela com todos os coeficientes zero). Quando temos uma descrição paramétrica por coeficientes ( a,b,c), uma maneira direta é escrever as matrizes correspondentes a cada parâmetro tomando-os um por vez igual a 1 e os demais 0; frequentemente essas matrizes formam uma base.
  • Vou aplicar isso: para cada subespaço vou expressar a matriz genérica em termos dos parâmetros, separar os termos em somas multiplicadas por a,b,c e tomar as matrizes multiplicadoras como candidatos a base. Depois verifico independência linear (mostrando que combinação linear nula força coeficientes zero) e que geram todo o subespaço.

Passo 3

Construção e verificação da base para U.
  1. Escrevo a matriz genérica de U em função dos parâmetros a,b,c:
\left[\begin{array}{cc} a & b\\[4pt] b & c \end{array}\right] = a\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 \end{array}\right] + b\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{array}\right] + c\left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Proponho o conjunto
\mathcal{B}_U = \left\{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 \end{array}\right], \; \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{array}\right], \; \left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right] \right\}
como base candidata para U.
  1. Verifico que geram U: pela decomposição acima, qualquer matriz de U é combinação linear das três matrizes, com coeficientes exatamente a,b,c. Então geram.
  2. Verifico independência linear: suponha que existam \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 \end{array}\right] + \beta\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{array}\right] + \gamma\left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 \end{array}\right].
Isso é equivalente às igualdades de entradas:
  • posição (1,1): \alpha=0;
  • posição (1,2): \beta=0;
  • posição (2,1): \beta=0 (mesma equação que (1,2));
  • posição (2,2): \gamma=0.
    Logo \alpha=\beta=\gamma=0, o que prova independência linear.
  1. Conclusão: \mathcal{B}_U é uma base de U. A dimensão de U é 3.]

Passo 4

Construção e verificação da base para W.
  1. Escrevo a matriz genérica de W em função dos parâmetros a,b,c:
\left[\begin{array}{cc} a & b\\[4pt] c & -a \end{array}\right] = a\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 \end{array}\right] + b\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{array}\right] + c\left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 \end{array}\right].
  1. Proponho o conjunto
\mathcal{B}_W = \left\{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 \end{array}\right], \; \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{array}\right], \; \left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 \end{array}\right] \right\}
como base candidata para W.
  1. Verifico que geram W: pela decomposição acima, qualquer matriz de W é combinação linear dessas três matrizes com coeficientes a,b,c. Então geram.
  2. Verifico independência linear: suponha \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} com
\alpha\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 \end{array}\right] + \beta\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{array}\right] + \gamma\left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 \end{array}\right].
Isso dá as igualdades de entradas:
  • (1,1): \alpha=0;
  • (1,2): \beta=0;
  • (2,1): \gamma=0;
  • (2,2): -\alpha=0 (coincide com a primeira).
    Logo \alpha=\beta=\gamma=0, provando independência linear.
  1. Conclusão: \mathcal{B}_W é uma base de W. A dimensão de W é 3.]

Passo 5

Determinação de U\cap W (interseção) fazendo as condições simultâneas.
  1. Seja uma matriz qualquer
X=\left[\begin{array}{cc} x_{11} & x_{12}\\[4pt] x_{21} & x_{22} \end{array}\right] \in U\cap W.
Pertencer a U implica que x_{21}=x_{12} (simetria). Pertencer a W implica que x_{22}=-x_{11} (posição (2,2) é negativa da (1,1)). Não há outras restrições além dessas duas.
  1. Então matrizes em U\cap W têm a forma
\left[\begin{array}{cc} a & b\\[4pt] b & -a \end{array}\right], \qquad a,b\in\mathbb{R},
onde identifiquei a=x_{11} e b=x_{12}=x_{21}.
  1. Escrevo essa matriz como combinação linear de duas matrizes naturalmente associadas aos parâmetros a e b:
\left[\begin{array}{cc} a & b\\[4pt] b & -a \end{array}\right] = a\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 \end{array}\right] + b\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Construção e verificação da base para U\cap W.
  1. Proponho
\mathcal{B}_{U\cap W} = \left\{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 \end{array}\right], \; \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{array}\right] \right\}.
  1. Geram U\cap W porque a decomposição da etapa anterior mostra que qualquer matriz da interseção é combinação linear com coeficientes a,b.
  2. Independência linear: suponha \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 \end{array}\right] + \beta\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 \end{array}\right].
Das entradas obtemos \alpha=0 (pela (1,1)) e \beta=0 (pela (1,2)). Logo são linearmente independentes.
  1. Conclusão: \mathcal{B}_{U\cap W} é uma base de U\cap W. A dimensão da interseção é 2.]

Resposta

Base de U: \left\{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{array}\right],\;\left[\begin{array}{cc}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{array}\right],\;\left[\begin{array}{cc}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{array}\right]\right\}
Base de W: \left\{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{array}\right],\;\left[\begin{array}{cc}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{array}\right],\;\left[\begin{array}{cc}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{array}\right]\right\}
Base de U\cap W: \left\{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{array}\right],\;\left[\begin{array}{cc}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{array}\right]\right\}]

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