Verifique se, para cada um dos itens abaixo, o subconjunto
é subespaço vetorial do espaço vetorial
.
e
.
Passo 1
O enunciado dá:
A pergunta é: verificar se
é um subespaço vetorial de
.
Lista das informações relevantes: os vetores de são todos pares ordenados com coordenadas não negativas;
é o espaço vetorial usual
.
Lista das informações relevantes: os vetores de
Passo 2
Definição prática que vamos usar (explicada com calma): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades básicas:
-
não é vazio (equivalentemente, contém o vetor zero). -
é fechado sob adição: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e , então .
Vou verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto dado. Sempre que eu usar uma fórmula, explico o que cada símbolo significa:
é um número real qualquer (escalar),
e
são vetores em
.
Passo 3
Verificação da condição de não vazio / presença do vetor zero.
O vetor zero em é
. Como
e
, temos
. Portanto
não é vazio e contém o vetor zero. Esta propriedade está satisfeita.
O vetor zero em
Passo 4
Verificação da fechamento por adição.
Sejam e
. Por definição de
temos
. A soma é
Sejam
Como soma de números não negativos é não negativa, temos
e
. Logo
. Portanto
é fechado sob adição. (Explicando: aqui usei a propriedade elementar dos números reais de que se
e
então
.)
Passo 5
Verificação da multiplicação por escalar (passo crucial).
Pegue um escalar arbitrário e um vetor
, ou seja
e
. O produto escalar é
Pegue um escalar arbitrário
Agora, se
, então
e
, então
. Porém, se
(por exemplo
) e
for um vetor com alguma coordenada positiva, então as coordenadas de
ficam negativas e
.
Exemplo explícito e simples (contraexemplo): tome
. Observamos
porque
. Agora calcule
Mas
, então
. Portanto existe um escalar
e um vetor
tais que
. Assim,
não é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Conclusão baseada na verificação: embora
contenha o vetor zero e seja fechado sob adição, falha a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalares (vide o contraexemplo com
e
). Como todas as três propriedades devem valer para que um conjunto seja subespaço, e uma delas falha, concluímos que
não é subespaço vetorial de
.
Resposta
Não,
não é subespaço vetorial de
.