Verifique se, para cada um dos itens abaixo, o subconjunto W é subespaço vetorial do espaço vetorial V.
V=\mathbb{R}^{2}, W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x \geq 0\right. e \left.y \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá:
V=\mathbb{R}^{2},\qquad W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\ge 0\\ \text{e}\\ y\ge 0\}.
A pergunta é: verificar se W é um subespaço vetorial de V.
Lista das informações relevantes: os vetores de W são todos pares ordenados com coordenadas não negativas; V é o espaço vetorial usual \mathbb{R}^2.

Passo 2

Definição prática que vamos usar (explicada com calma): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades básicas:
  1. W não é vazio (equivalentemente, contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalares: se \alpha\in\mathbb{R} e u\in W, então \alpha u\in W.
Vou verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto dado. Sempre que eu usar uma fórmula, explico o que cada símbolo significa: \alpha é um número real qualquer (escalar), u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) são vetores em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Verificação da condição de não vazio / presença do vetor zero.
O vetor zero em \mathbb{R}^2 é (0,0). Como 0\ge 0 e 0\ge 0, temos (0,0)\in W. Portanto W não é vazio e contém o vetor zero. Esta propriedade está satisfeita.

Passo 4

Verificação da fechamento por adição.
Sejam u=(x_1,y_1)\in W e v=(x_2,y_2)\in W. Por definição de W temos x_1\ge 0,\\ y_1\ge 0,\\ x_2\ge 0,\\ y_2\ge 0. A soma é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Como soma de números não negativos é não negativa, temos x_1+x_2\ge 0 e y_1+y_2\ge 0. Logo u+v\in W. Portanto W é fechado sob adição. (Explicando: aqui usei a propriedade elementar dos números reais de que se a\ge0 e b\ge0 então a+b\ge0.)

Passo 5

Verificação da multiplicação por escalar (passo crucial).
Pegue um escalar arbitrário \alpha\in\mathbb{R} e um vetor u=(x,y)\in W, ou seja x\ge 0 e y\ge 0. O produto escalar é
\alpha u=(\alpha x,\;\alpha y).
Agora, se \alpha\ge 0, então \alpha x\ge 0 e \alpha y\ge 0, então \alpha u\in W. Porém, se \alpha<0 (por exemplo \alpha=-1) e u for um vetor com alguma coordenada positiva, então as coordenadas de \alpha u ficam negativas e \alpha u\notin W.
Exemplo explícito e simples (contraexemplo): tome u=(1,1). Observamos u\in W porque 1\ge 0. Agora calcule
(-1)\cdot(1,1)=(-1,-1).
Mas -1<0, então (-1,-1)\notin W. Portanto existe um escalar \alpha e um vetor u\in W tais que \alpha u\notin W. Assim, W não é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 6

Conclusão baseada na verificação: embora W contenha o vetor zero e seja fechado sob adição, falha a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalares (vide o contraexemplo com \alpha=-1 e u=(1,1)). Como todas as três propriedades devem valer para que um conjunto seja subespaço, e uma delas falha, concluímos que W não é subespaço vetorial de V.

Resposta

Não, W não é subespaço vetorial de V.

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